( 1,5 pontos) Use a definição de área líquida (Limite da Somatória) com
dado pela extremidade à direita de cada subintervalo, para encontrar a área entre o gráfico de
e o eixo
no seguinte intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de área líquida (limite da somatória, ou soma de Riemann) com
dado pela extremidade à direita de cada subintervalo, para encontrar a área entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo
.\n
Informações relevantes fornecidas:\n
Informações relevantes fornecidas:\n
- A função é
.\n - O intervalo considerado é
.\n - Deve-se usar a soma de Riemann com
sendo o extremo direito de cada subintervalo (right endpoints).\n
O que se pede explicitamente: calcular a área líquida (ou seja, o valor da integral definida)usando a definição por limite de somatórias com extremidades à direita.
Passo 2
Vamos construir a partição uniforme e escrever a soma de Riemann com pontos à direita.\n
Dividimos em
subintervalos de igual comprimento
. O comprimento de cada subintervalo é
Dividimos
Os pontos da partição são
. Como usamos extremidades à direita, o ponto de amostragem do k-ésimo subintervalo é
A soma de Riemann com pontos à direita é
A área líquida pedida será
.
Passo 3
Substituímos
e
na soma.\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Multiplicando por
obtemos o termo geral da soma:
Passo 4
Agora escrevemos a soma total
usando esse termo geral:
Para prosseguir precisamos das fórmulas conhecidas para as somas dos primeiros inteiros e dos primeiros cubos:
Explico brevemente: a soma dos
é a fórmula clássica
. A soma dos cubos é o quadrado dessa soma de primeiros inteiros; pode-se provar por indução ou reconhecendo que
.
Passo 5
Substituímos as fórmulas das somas em
:
Vamos simplificar cada termo separadamente.\n
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
então
Para o segundo termo:
Portanto
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
para obter a área líquida:
Dividimos termos para ver os limites mais claramente:
Portanto
Passo 7
Interpretação final: o valor obtido
é a área líquida (área assinada) entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo
. Isso significa que a área abaixo do eixo
(na parte onde
é negativa) excede a área acima do eixo
em
unidades de área. (Se fosse pedida a área total sem sinal, deveríamos somar as áreas positivas e negativas em valor absoluto; aqui pediram explicitamente área líquida usando soma de Riemann.)