( 1,5 pontos) Use a definição de área líquida (Limite da Somatória) com x_{k}^{*} dado pela extremidade à direita de cada subintervalo, para encontrar a área entre o gráfico de f(x)=x^{3}-3 x e o eixo x no seguinte intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de área líquida (limite da somatória, ou soma de Riemann) com x_{k}^{*} dado pela extremidade à direita de cada subintervalo, para encontrar a área entre o gráfico de f(x)=x^{3}-3x e o eixo x no intervalo [0,2].\n
Informações relevantes fornecidas:\n
  • A função é f(x)=x^{3}-3x.\n
  • O intervalo considerado é [0,2].\n
  • Deve-se usar a soma de Riemann com x_{k}^{*} sendo o extremo direito de cada subintervalo (right endpoints).\n
    O que se pede explicitamente: calcular a área líquida (ou seja, o valor da integral definida) \int_{0}^{2} f(x)\,dx usando a definição por limite de somatórias com extremidades à direita.

Passo 2

Vamos construir a partição uniforme e escrever a soma de Riemann com pontos à direita.\n
Dividimos [0,2] em n subintervalos de igual comprimento \Delta x. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.
Os pontos da partição são x_0=0,x_1,x_2,\dots,x_n=2. Como usamos extremidades à direita, o ponto de amostragem do k-ésimo subintervalo é
x_k^{*}=x_k=0+k\Delta x=\frac{2k}{n},\quad k=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann com pontos à direita é
S_n=\sum_{k=1}^{n} f\bigl(x_k^{*}\bigr)\,\Delta x.
A área líquida pedida será \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n.

Passo 3

Substituímos f(x)=x^{3}-3x e x_k^{*}=\dfrac{2k}{n} na soma.\n
Primeiro calcule f\bigl(x_k^{*}\bigr):
f\bigl(x_k^{*}\bigr)=\left(\frac{2k}{n}\right)^{3}-3\left(\frac{2k}{n}\right) =\frac{8k^{3}}{n^{3}}-\frac{6k}{n}.
Multiplicando por \Delta x=\dfrac{2}{n} obtemos o termo geral da soma:
f\bigl(x_k^{*}\bigr)\Delta x =\left(\frac{8k^{3}}{n^{3}}-\frac{6k}{n}\right)\cdot\frac{2}{n} =\frac{16k^{3}}{n^{4}}-\frac{12k}{n^{2}}.

Passo 4

Agora escrevemos a soma total S_n usando esse termo geral:
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{16k^{3}}{n^{4}}-\frac{12k}{n^{2}}\right) =\frac{16}{n^{4}}\sum_{k=1}^{n}k^{3}-\frac{12}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k.
Para prosseguir precisamos das fórmulas conhecidas para as somas dos primeiros inteiros e dos primeiros cubos:
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Explico brevemente: a soma dos k é a fórmula clássica \frac{n(n+1)}{2}. A soma dos cubos é o quadrado dessa soma de primeiros inteiros; pode-se provar por indução ou reconhecendo que \sum k^{3}=(\sum k)^{2}.

Passo 5

Substituímos as fórmulas das somas em S_n:
S_n=\frac{16}{n^{4}}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}-\frac{12}{n^{2}}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right).
Vamos simplificar cada termo separadamente.\n
Para o primeiro termo:
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4},
então
\frac{16}{n^{4}}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} =\frac{16}{4}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{n^{4}} =4\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}.
Para o segundo termo:
\frac{12}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac{12}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{n^{2}} =6\cdot\frac{n+1}{n}.
Portanto
S_n=4\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}-6\cdot\frac{n+1}{n}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando n\to\infty para obter a área líquida:
\lim_{n\to\infty} S_n =\lim_{n\to\infty}\left(4\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}-6\cdot\frac{n+1}{n}\right).
Dividimos termos para ver os limites mais claramente:
\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\longrightarrow 1 \quad\text{quando }n\to\infty,
\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\longrightarrow 1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto
\lim_{n\to\infty} S_n =4\cdot 1 - 6\cdot 1 =4-6=-2.

Passo 7

Interpretação final: o valor obtido -2 é a área líquida (área assinada) entre o gráfico de f(x)=x^{3}-3x e o eixo x no intervalo [0,2]. Isso significa que a área abaixo do eixo x (na parte onde f é negativa) excede a área acima do eixo x em 2 unidades de área. (Se fosse pedida a área total sem sinal, deveríamos somar as áreas positivas e negativas em valor absoluto; aqui pediram explicitamente área líquida usando soma de Riemann.)

Resposta

-2

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