Calcule as integrais:
2. \int \theta \cos \pi \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta.
Informações dadas:
  • A integranda é \theta \cos(\pi \theta).
  • Deve-se encontrar uma primitiva (anti-derivada) — portanto a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para tornar a integral mais simples: costuma-se escolher u como a parte que simplifica ao derivar (tipicamente polinômios) e dv como a parte fácil de integrar (tipicamente funções trigonométricas ou exponenciais). Vou escolher
u=\theta,\qquad dv=\cos(\pi \theta)\,d\theta.
Justificativa curta: \theta desaparece ao derivar (vira 1), e \cos(\pi\theta) é fácil de integrar.

Passo 3

Calcular du e v.
Derivando u:
du=d\theta.
Integrando dv: usar a fórmula básica \int \cos(a x)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(a x). Assim,
v=\int \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta).

Passo 4

Aplicar integração por partes:
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \theta\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta) - \int \frac{1}{\pi}\sin(\pi \theta)\,d\theta.
Fatorando a constante \dfrac{1}{\pi}:
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\,\theta\sin(\pi \theta) - \frac{1}{\pi}\int \sin(\pi \theta)\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral restante \int \sin(\pi \theta)\,d\theta. Usando \int \sin(a x)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(a x), obtemos
\int \sin(\pi \theta)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi \theta).
Substituindo:
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\,\theta\sin(\pi \theta) - \frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi \theta)\right).
Simplificando os sinais e constantes:
\int \theta \cos(\pi \theta)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\,\theta\sin(\pi \theta) + \frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi \theta) + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática): derivar a primitiva encontrada para confirmar que volta à integranda.
Derivando
F(\theta)=\frac{1}{\pi}\theta\sin(\pi\theta)+\frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi\theta),
usar regra do produto e cadeia:
F'(\theta)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta)+\frac{1}{\pi}\theta\cos(\pi\theta)\cdot\pi \;+\;\frac{1}{\pi^{2}}\big(-\sin(\pi\theta)\cdot\pi\big).
Simplificando:
F'(\theta)=\frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta)+\theta\cos(\pi\theta)-\frac{1}{\pi}\sin(\pi\theta) =\theta\cos(\pi\theta),
que é exatamente a integranda. Está correto.

Resposta

\frac{1}{\pi}\,\theta\sin(\pi \theta)+\frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi \theta)+C

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