Calcule as integrais:
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (anti-derivada) — portanto a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
Aqui
e
são escolhas que fazemos para tornar a integral mais simples: costuma-se escolher
como a parte que simplifica ao derivar (tipicamente polinômios) e
como a parte fácil de integrar (tipicamente funções trigonométricas ou exponenciais). Vou escolher
Justificativa curta:
desaparece ao derivar (vira
), e
é fácil de integrar.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
: usar a fórmula básica
. Assim,
Passo 4
Aplicar integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Fatorando a constante
:
Passo 5
Calcular a integral restante
. Usando
, obtemos
Substituindo:
Simplificando os sinais e constantes:
Passo 6
Verificação rápida (boa prática): derivar a primitiva encontrada para confirmar que volta à integranda.
Derivando
usar regra do produto e cadeia:
Simplificando:
que é exatamente a integranda. Está correto.