Questão 4. Utilize coordenadas esféricas para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio a usando coordenadas esféricas. Informações e o que é pedido:
  • Temos uma esfera de raio a, ou seja o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\,.
  • O objetivo é calcular o volume desse conjunto, isto é a medida em 3D da região dentro da esfera.
  • Está indicado usar coordenadas esféricas para facilitar a integração pela simetria da esfera.
    Não se resolve nada neste passo; apenas listei o que o problema dá e o que precisa ser encontrado.

Passo 2

Definição das coordenadas esféricas e o significado das variáveis:
  • Em coordenadas esféricas um ponto do espaço é dado por \rho,\varphi,\theta onde x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Interpretação intuitiva das variáveis:
    • \rho é a distância do ponto à origem (ou seja o “raio” em 3D), \rho\ge 0.
    • \varphi é o ângulo polar — o ângulo entre o vetor posição e o eixo z, variando em 0\le\varphi\le\pi.
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (o mesmo de coordenadas polares), variando em 0\le\theta<2\pi.
  • Esses três números (\rho,\varphi,\theta) parametrizam todo o espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Como obter o elemento de volume em coordenadas esféricas (a chamada “Jacobian” ou dV):
  • Intuição geométrica (fácil de memorizar e usar em prova). Considere um pequeno paralelepípedo curvo gerado por variações \Delta\rho,\Delta\varphi,\Delta\theta. As três arestas têm comprimentos aproximados:
    • na direção radial: \Delta\rho,
    • na direção do ângulo polar: \rho\,\Delta\varphi (arco de círculo de raio \rho),
    • na direção azimutal: \rho\sin\varphi\,\Delta\theta (arco de círculo de raio \rho\sin\varphi no plano perpendicular ao eixo polar).
  • O volume desse pequeno bloco é aproximadamente o produto desses comprimentos, ou seja \Delta V \approx \Delta\rho\;(\rho\,\Delta\varphi)\;(\rho\sin\varphi\,\Delta\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\;\Delta\rho\;\Delta\varphi\;\Delta\theta.
  • Passando ao limite e escrevendo em notação diferencial, o elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.
  • Comentário rápido: rigorosamente esse fator \rho^{2}\sin\varphi é o valor absoluto do determinante jacobiano da transformação (\rho,\varphi,\theta)\mapsto(x,y,z), e a intuição geométrica acima é equivalente ao cálculo do jacobiano por derivadas parciais.

Passo 4

Determinação dos limites de integração para a esfera de raio a:
  • A esfera inteira é descrita em esféricas por \,0\le\rho\le a,\;0\le\varphi\le\pi,\;0\le\theta<2\pi\,.
  • Explicando: \rho vai de 0 (origem) até a (superfície da esfera); para cobrir todos os pontos em torno do eixo z percorre-se \varphi de 0 a \pi; e \theta percorre toda a volta em 0 a 2\pi.
  • Assim o volume V é dado pela integral tripla em coordenadas esféricas: V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{a}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo (integrar em \rho, depois \varphi, depois \theta):
  • Integração em \rho: \int_{0}^{a}\rho^{2}\;d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}.Então a integral fica V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left(\frac{a^{3}}{3}\right)\sin\varphi\;d\varphi\;d\theta.
  • Agora integrar em \varphi: \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}= -\cos\pi -\bigl(-\cos 0\bigr)= -(-1)+1=2.Substituindo: V=\int_{0}^{2\pi}\frac{a^{3}}{3}\cdot 2\;d\theta=\frac{2a^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta.
  • Finalmente integrar em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.Portanto V=\frac{2a^{3}}{3}\cdot 2\pi=\frac{4}{3}\pi a^{3}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova:
  • O resultado \dfrac{4}{3}\pi a^{3} é a fórmula clássica do volume da esfera de raio a.
  • Dica prática: em provas, lembrar que o elemento de volume em esféricas é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta e que os limites são \rho\in[0,a], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi). Isso simplifica bastante integrais com simetria esférica.
  • Força aí — com esse passo a passo dá para fazer esse exercício rápido na prova.

Resposta

\dfrac{4}{3}\pi a^{3}

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