Questão 4. Utilize coordenadas esféricas para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
usando coordenadas esféricas. Informações e o que é pedido:
- Temos uma esfera de raio
, ou seja o conjunto de pontos que satisfazem . - O objetivo é calcular o volume desse conjunto, isto é a medida em 3D da região dentro da esfera.
- Está indicado usar coordenadas esféricas para facilitar a integração pela simetria da esfera.
Não se resolve nada neste passo; apenas listei o que o problema dá e o que precisa ser encontrado.
Passo 2
Definição das coordenadas esféricas e o significado das variáveis:
- Em coordenadas esféricas um ponto do espaço é dado por
onde - Interpretação intuitiva das variáveis:
-
é a distância do ponto à origem (ou seja o “raio” em 3D), . -
é o ângulo polar — o ângulo entre o vetor posição e o eixo , variando em . -
é o ângulo azimutal no plano (o mesmo de coordenadas polares), variando em .
-
- Esses três números
parametrizam todo o espaço .
Passo 3
Como obter o elemento de volume em coordenadas esféricas (a chamada “Jacobian” ou
):
- Intuição geométrica (fácil de memorizar e usar em prova). Considere um pequeno paralelepípedo curvo gerado por variações
. As três arestas têm comprimentos aproximados: - na direção radial:
, - na direção do ângulo polar:
(arco de círculo de raio ), - na direção azimutal:
(arco de círculo de raio no plano perpendicular ao eixo polar).
- na direção radial:
- O volume desse pequeno bloco é aproximadamente o produto desses comprimentos, ou seja
- Passando ao limite e escrevendo em notação diferencial, o elemento de volume é
- Comentário rápido: rigorosamente esse fator
é o valor absoluto do determinante jacobiano da transformação , e a intuição geométrica acima é equivalente ao cálculo do jacobiano por derivadas parciais.
Passo 4
Determinação dos limites de integração para a esfera de raio
:
- A esfera inteira é descrita em esféricas por
. - Explicando:
vai de (origem) até (superfície da esfera); para cobrir todos os pontos em torno do eixo percorre-se de a ; e percorre toda a volta em a . - Assim o volume
é dado pela integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo (integrar em
, depois
, depois
):
- Integração em
: Então a integral fica - Agora integrar em
: Substituindo: - Finalmente integrar em
: Portanto
Passo 6
Interpretação final e dica para prova:
- O resultado
é a fórmula clássica do volume da esfera de raio . - Dica prática: em provas, lembrar que o elemento de volume em esféricas é
e que os limites são , , . Isso simplifica bastante integrais com simetria esférica. - Força aí — com esse passo a passo dá para fazer esse exercício rápido na prova.