Questão 1. Calcule as integrais duplas abaixo.
\int_{0}^{1} \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} x\,y \, d y \, d x.
As informações dadas são:
  • A variável externa é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia de y=1-\sqrt{1-x^{2}} até y=1+\sqrt{1-x^{2}}.
  • O integrando é x\,y.
    A pergunta é simplesmente: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Primeiro, faço a integração interna em y, tratando x como constante. Lembrando a regra básica de integração: \displaystyle \int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}. Portanto,
\int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} x\,y \,dy = x \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=1-\sqrt{1-x^{2}}}^{y=1+\sqrt{1-x^{2}}}.
Aqui foi tirado x para fora porque, ao integrar em y, x é constante.

Passo 3

Agora avalio a diferença das parcelas ao quadrado. Uso a identidade algébrica simples \,(1+u)^{2}-(1-u)^{2}=4u\, com u=\sqrt{1-x^{2}}. Assim,
\left(1+\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}-\left(1-\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=4\sqrt{1-x^{2}}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
x\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{1-x^{2}} = 2x\sqrt{1-x^{2}}.
Logo a integral dupla inicial reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} 2x\sqrt{1-x^{2}}\,dx uso a substituição comum para radicais quadráticos: tomo
u=1-x^{2}.
Então du=-2x\,dx, ou seja 2x\,dx=-du. Troco os limites: quando x=0 tem u=1; quando x=1 tem u=0. Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{1} 2x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=0} -\sqrt{u}\,du.
Mudando a ordem dos limites para ficar no sentido crescente:
\int_{u=1}^{u=0} -\sqrt{u}\,du = \int_{0}^{1} \sqrt{u}\,du.

Passo 5

Agora integro \sqrt{u}=u^{1/2}. A primitiva é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\int_{0}^{1} \sqrt{u}\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3}.
Pronto — esse é o valor da integral original.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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