Questão 1. Calcule as integrais duplas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
As informações dadas são:
- A variável externa é
com . - Para cada
fixo, a variável interna varia de até . - O integrando é
.
A pergunta é simplesmente: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Primeiro, faço a integração interna em
, tratando
como constante. Lembrando a regra básica de integração:
. Portanto,
Aqui foi tirado
para fora porque, ao integrar em
,
é constante.
Passo 3
Agora avalio a diferença das parcelas ao quadrado. Uso a identidade algébrica simples
com
. Assim,
Substituindo na expressão do passo anterior:
Logo a integral dupla inicial reduz-se à integral simples
Passo 4
Para calcular
uso a substituição comum para radicais quadráticos: tomo
Então
, ou seja
. Troco os limites: quando
tem
; quando
tem
. Substituindo na integral obtemos
Mudando a ordem dos limites para ficar no sentido crescente:
Passo 5
Agora integro
. A primitiva é
. Portanto
Pronto — esse é o valor da integral original.