Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 x}(1+3 x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2x} (1+3x+y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 1+3x+y.
  • A integração interna é em y com limite inferior 0 e superior 2-2x.
  • A integração externa é em x com limites 0 e 1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia: calcular primeiro a integral interna em y (já que os limites para y são dados em função de x), obter uma função de x e então integrar essa função em x de 0 a 1.
Lembrete de cálculo (regras que vou usar):
  • A integral de uma constante a em y é \int a\,dy = a y + C.
  • A integral de y é \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2} + C.
  • Em geral, a regra do poder: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
    Essas fórmulas servem para integrar termo a termo 1+3x+y em relação a y. Note que, ao integrar em y, x é tratado como constante.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{2-2x} (1+3x+y)\,dy = \int_{0}^{2-2x} (1+3x)\,dy + \int_{0}^{2-2x} y\,dy.
Usando as regras:
\int_{0}^{2-2x} (1+3x)\,dy = (1+3x)\bigl[y\bigr]_{0}^{2-2x}=(1+3x)(2-2x),
\int_{0}^{2-2x} y\,dy = \left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2-2x}=\dfrac{(2-2x)^{2}}{2}.
Somando:
\int_{0}^{2-2x} (1+3x+y)\,dy = (1+3x)(2-2x) + \dfrac{(2-2x)^{2}}{2}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
Calcule primeiro (1+3x)(2-2x):
(1+3x)(2-2x)=2+6x-2x-6x^{2}=2+4x-6x^{2}.
Calcule \dfrac{(2-2x)^{2}}{2}:
\dfrac{(2-2x)^{2}}{2}=\dfrac{4(1-x)^{2}}{2}=2(1-2x+x^{2})=2-4x+2x^{2}.
Somando os dois resultados:
(2+4x-6x^{2})+(2-4x+2x^{2})=4-4x^{2}.
Portanto a integral interna simplifica-se para
\int_{0}^{2-2x} (1+3x+y)\,dy = 4-4x^{2}.

Passo 5

Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (4-4x^{2})\,dx = 4\int_{0}^{1} (1-x^{2})\,dx =4\left(\int_{0}^{1} 1\,dx - \int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right).
Calcular as integrais simples:
\int_{0}^{1} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1}=1, \qquad \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}.
Logo
4\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=4\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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