Calcule as integrais por integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- Integrando:
. - Operação pedida: calcular a primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja encontrar uma função
tal que . - Devemos fornecer a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro uso uma propriedade básica de integrais: a linearidade. Isso permite separar a integral em duas mais simples:
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente, explicando cada passo com calma.
Passo 3
Calcular
.
Lembrando a relação entre derivada e primitiva: a derivada de
é
. Isso implica que a primitiva de
é
, porque ao derivar
obtenho
. Logo:
Aqui
é uma constante de integração (será combinada com a outra constante no final).
Passo 4
Calcular
.
Este tipo de integral é ideal para usar a substituição (mas observe que a substituição é um passo muito simples; vou explicá-la detalhadamente). Faço a mudança de variável
Agora calculo o diferencial
. Como
, segue que
Substituindo na integral:
A primitiva de
é
. Portanto
Voltando à variável original
(substituindo
):
Passo 5
Junto os dois resultados obtidos nos passos anteriores. Somando as primitivas (e unificando as constantes
e
numa única constante
):
Então a primitiva geral é
Passo 6
Comentário curto de didática (pra você memorizar a ideia): a parte chave foi notar que a derivada de
é proporcional a
, o que torna a substituição
imediata e simples. Às vezes exercícios pedem “integração por partes”, mas aqui a substituição é muito mais direta; sempre olhe primeiro se o integrando contém algo cujo diferencial aparece multiplicando (aí vale a substituição).