Calcule as integrais por integração por partes:
\int\left(1+e^{\cos (x)}\right) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • Integrando: \left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x).
  • Operação pedida: calcular a primitiva (integral indefinida) dessa função, ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x).
  • Devemos fornecer a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade básica de integrais: a linearidade. Isso permite separar a integral em duas mais simples:
\int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx = \int \operatorname{sen}(x)\,dx + \int e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)\,dx.
Lembrando a relação entre derivada e primitiva: a derivada de \cos(x) é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x). Isso implica que a primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), porque ao derivar -\cos(x) obtenho \operatorname{sen}(x). Logo:
\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x) + C_1.
Aqui C_1 é uma constante de integração (será combinada com a outra constante no final).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Este tipo de integral é ideal para usar a substituição (mas observe que a substituição é um passo muito simples; vou explicá-la detalhadamente). Faço a mudança de variável
u=\cos(x).
Agora calculo o diferencial du. Como \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x), segue que
du = -\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)\,dx = -du.
Substituindo na integral:
\int e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}\,du.
A primitiva de e^{u} é e^{u}. Portanto
-\int e^{u}\,du = -e^{u} + C_2.
Voltando à variável original x (substituindo u=\cos(x)):
\int e^{\cos(x)}\operatorname{sen}(x)\,dx = -e^{\cos(x)} + C_2.

Passo 5

Junto os dois resultados obtidos nos passos anteriores. Somando as primitivas (e unificando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C):
\int\left(1+e^{\cos(x)}\right)\operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl(-\cos(x)\bigr) + \bigl(-e^{\cos(x)}\bigr) + C.
Então a primitiva geral é
-\cos(x)-e^{\cos(x)}+C.

Passo 6

Comentário curto de didática (pra você memorizar a ideia): a parte chave foi notar que a derivada de \cos(x) é proporcional a \operatorname{sen}(x), o que torna a substituição u=\cos(x) imediata e simples. Às vezes exercícios pedem “integração por partes”, mas aqui a substituição é muito mais direta; sempre olhe primeiro se o integrando contém algo cujo diferencial aparece multiplicando (aí vale a substituição).

Resposta

-\cos(x)-e^{\cos(x)}+C

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