Calcule as integrais por substituição simples:
\int e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A variável de integração é x.
  • A integral é indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração C).
  • O integrando é um produto envolvendo e^{x} e \operatorname{sen}(e^{x}), ou seja, há uma função composta \operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) cujo argumento é e^{x}.

Passo 2

Ideia da técnica usada (explicada passo a passo): escolhe-se uma nova variável u que simplifique a função composta. A fórmula básica é: se fizermos a substituição \,u=g(x)\, e \,du=g'(x)\,dx, então integrais da forma \int g'(x)\,f(g(x))\,dx transformam-se em \int f(u)\,du. Aqui queremos transformar a parte \operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) para \operatorname{sen}(u) e também transformar e^{x}\,dx em du.
Escolhendo a substituição:
u = e^{x}.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = e^{x}\,dx.
Portanto temos exatamente \,e^{x}\,dx = du. Isso significa que a integral em x fica simples em u.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral original: substituir e^{x}\,dx por du e e^{x} por u. Assim
\int e^{x}\,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Agora achamos a primitiva de \operatorname{sen}(u). Lembrando que a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), logo uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Portanto
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x através de u=e^{x}, obtemos a antiderivada final:
-\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Derivando -\cos\bigl(e^{x}\bigr):
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(e^{x})\bigr) = -\bigl(-\operatorname{sen}(e^{x})\bigr)\cdot e^{x} = e^{x}\,\operatorname{sen}(e^{x}),
o que confirma que a primitiva está correta. Boa! Mandou bem por chegar até aqui!

Resposta

-\cos\bigl(e^{x}\bigr)+C

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