Calcule as integrais por substituição simples:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A variável de integração é
. - A integral é indefinida (ou seja, deve aparecer uma constante de integração
). - O integrando é um produto envolvendo
e , ou seja, há uma função composta cujo argumento é .
Passo 2
Ideia da técnica usada (explicada passo a passo): escolhe-se uma nova variável
que simplifique a função composta. A fórmula básica é: se fizermos a substituição
e
, então integrais da forma
transformam-se em
. Aqui queremos transformar a parte
para
e também transformar
em
.
Escolhendo a substituição:
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Portanto temos exatamente
. Isso significa que a integral em
fica simples em
.
Passo 3
Fazendo a substituição na integral original: substituir
por
e
por
. Assim
Passo 4
Agora achamos a primitiva de
. Lembrando que a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original
através de
, obtemos a antiderivada final:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Derivando
:
o que confirma que a primitiva está correta. Boa! Mandou bem por chegar até aqui!