Calcule as integrais trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes que nos dão diretamente:
- A integranda é o produto de potências de
e . - As potências são inteiras e ambas são ímpares (
e ). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) com constante de integração.
Passo 2
Escolha do método (explicação do porquê): quando numa integral trigonométrica uma das potências de
ou
é ímpar, é conveniente separar um fator dessa função ímpar e usar a identidade
(se separar um
) ou
(se separar um
), e então fazer a substituição
ou
. Aqui ambas são ímpares; vou separar um fator
e usar
, porque
aparece diretamente e simplifica a integral para um polinômio em
.
Passo 3
Reescrevendo a integranda para deixar um
separado e aplicar a identidade:
Substituindo na integral obtemos
Aqui explicando cada parte:
é um polinômio em
e o fator
será usado para a substituição.
Passo 4
Fazer a substituição
. Então:
-
significa que . - Portanto
.
Aplicando isso à integral:
Detalhe: expandi
para separar as potências e facilitar a integração.
Passo 5
Integrar o polinômio em
termo a termo. Para integrar
usamos a regra básica:
onde
. Aplicando:
Distribuindo o sinal menos:
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Podemos ordenar os termos como preferir; esta é a primitiva final.