Calcule as integrais trigonométricas:
\int \cos ^{5} x \operatorname{sen}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos^{5}x\,\sin^{3}x\,dx.
Informações relevantes que nos dão diretamente:
  • A integranda é o produto de potências de \cos x e \sin x.
  • As potências são inteiras e ambas são ímpares ( 5 e 3).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) com constante de integração.

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê): quando numa integral trigonométrica uma das potências de \sin ou \cos é ímpar, é conveniente separar um fator dessa função ímpar e usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x (se separar um \sin x) ou \cos^{2}x=1-\sin^{2}x (se separar um \cos x), e então fazer a substituição u=\cos x ou u=\sin x. Aqui ambas são ímpares; vou separar um fator \sin x e usar u=\cos x, porque du = -\sin x\,dx aparece diretamente e simplifica a integral para um polinômio em u.

Passo 3

Reescrevendo a integranda para deixar um \sin x\,dx separado e aplicar a identidade:
\sin^{3}x=\sin^{2}x\cdot\sin x=(1-\cos^{2}x)\sin x.
Substituindo na integral obtemos
\int \cos^{5}x\,\sin^{3}x\,dx=\int \cos^{5}x\,(1-\cos^{2}x)\,\sin x\,dx.
Aqui explicando cada parte: \cos^{5}x(1-\cos^{2}x) é um polinômio em \cos x e o fator \sin x\,dx será usado para a substituição.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos x. Então:
  • u=\cos x significa que du = -\sin x\,dx.
  • Portanto \sin x\,dx = -du.
Aplicando isso à integral:
\int \cos^{5}x\,(1-\cos^{2}x)\,\sin x\,dx = \int u^{5}(1-u^{2})(-du) = -\int \bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\,du.
Detalhe: expandi u^{5}(1-u^{2}) para separar as potências e facilitar a integração.

Passo 5

Integrar o polinômio em u termo a termo. Para integrar u^{n} usamos a regra básica:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde n\neq -1. Aplicando:
-\int \bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\,du = -\left(\int u^{5}\,du - \int u^{7}\,du\right) = -\left(\frac{u^{6}}{6}-\frac{u^{8}}{8}\right)+C.
Distribuindo o sinal menos:
-\frac{u^{6}}{6}+\frac{u^{8}}{8}+C.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=\cos x:
-\frac{\cos^{6}x}{6}+\frac{\cos^{8}x}{8}+C.
Podemos ordenar os termos como preferir; esta é a primitiva final.

Resposta

-\frac{\cos^{6}x}{6}+\frac{\cos^{8}x}{8}+C

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