Calcule as integrais.
integral-3 cos ^4 x sen^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de -3 cos^4 x sin^3 x , dx. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
integral -3 cos^4 x sin^3 x , dx
Notamos que temos potências de cosseno e seno. Uma boa estratégia é escolher uma dessas funções para fazer a substituição. Vamos optar por u = cos x, porque a derivada de $ \cos x $ é cos x , o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Definimos a substituição:
u = cos x
Então, calculamos a derivada de u em relação a x:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx
Agora, vamos reescrever a nossa integral em termos de u.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando u e du:
integral -3 cos^4 x sin^3 x , dx = -3 integral cos^4 x sin^3 x , dx
Agora, separamos uma parte de sin x , dx para substituir por -du:
-3 integral cos^4 x sin^3 x , dx = -3 integral cos^4 x sin^2 x cdot sin x , dx
Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x, então substituímos:
-3 integral cos^4 x (1 - cos^2 x) cdot sin x , dx
Agora, substituímos u = cos x e sin x , dx = -du:
-3 integral u^4 (1 - u^2) (-du) = 3 integral u^4 (1 - u^2) , du

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
3 integral u^4 (1 - u^2) , du = 3 integral (u^4 - u^6) , du
Isso torna a integral mais simples de resolver, pois agora lidamos com potências de u.

Passo 6

Integrando termo a termo:
3 integral (u^4 - u^6) , du = 3 ( u^55 - u^77 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos u = cos x de volta na expressão:
3 ( cos^5 x5 - cos^7 x7 ) + C
Podemos simplificar colocando o 3 dentro dos parênteses:
35 cos^5 x - 37 cos^7 x + C

Resposta

A integral integral -3 cos^4 x sin^3 x , dx é igual a:
35 cos^5 x - 37 cos^7 x + C

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