Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
Notamos que temos potências de cosseno e seno. Uma boa estratégia é escolher uma dessas funções para fazer a substituição. Vamos optar por
, porque a derivada de $ \cos x $ é
, o que aparece na nossa integral.
Passo 3
Definimos a substituição:
Então, calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos reescrever a nossa integral em termos de
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando
e
:
Agora, separamos uma parte de
para substituir por
:
Sabemos que
, então substituímos:
Agora, substituímos
e
:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso torna a integral mais simples de resolver, pois agora lidamos com potências de
.
Passo 6
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Podemos simplificar colocando o 3 dentro dos parênteses:
Resposta
A integral
é igual a: