Um produtor vende seus produtos cada e as vendas são de 20 unidades. Ele observou que para cada cada e as vendas são de 20 unidades E<= observou que para cada de aumento no preço, o número de unidades vendidas cai de 2. Sendo o custo de produção de $6, com base nestes dados, determine: b) O preço 1 que maximiza o lucro. Qual será o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado pede para achar o preço x que maximiza o lucro e qual será esse lucro máximo. O conteúdo é otimização de função quadrática. Vamos precisar modelar a demanda em função do preço e então montar a função lucro para, depois, encontrar seu vértice.

Passo 2

Quando o preço inicial é $10, a demanda é de 20 unidades. A cada aumento de $1 no preço, vendem-se 2 unidades a menos. Se o preço passa a ser 10, a demanda é de 20 unidades A cada aumento de , o aumento em relação a 10 é x e a queda na demanda é x-10. Logo a demanda é
2(x-10)

Passo 3

O lucro por unidade é a diferença entre o preço de venda x e o custo de produção $6. Então a função lucro total é
6 Então a função lucro total é 
Expandindo com a propriedade distributiva, obtemos
L(x)=(x-6)igl(40-2xr)

Passo 4

A função L(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo ( a=-2<0), logo tem um máximo dado pelo vértice. A coordenada do vértice em x é
x=-b2a=-522cdot(-2)=13
Portanto, o preço ótimo é $13.

Passo 5

Para encontrar o lucro máximo, substituímos x=13 em L(x) ou usamos o fato de que:
L(13)=(13-6)(40-2cdot13)=7times14=98
Assim, o lucro máximo é $98.

Resposta

O preço que maximiza o lucro é $13 e o lucro máximo é $98.

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