Um produtor vende seus produtos
cada e as vendas são de 20 unidades. Ele observou que para cada
de aumento no preço, o número de unidades vendidas cai de 2. Sendo o custo de produção de $6, com base nestes dados, determine: b) O preço
que maximiza o lucro. Qual será o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado pede para achar o preço
que maximiza o lucro e qual será esse lucro máximo. O conteúdo é otimização de função quadrática. Vamos precisar modelar a demanda em função do preço e então montar a função lucro para, depois, encontrar seu vértice.
Passo 2
Quando o preço inicial é $10, a demanda é de 20 unidades. A cada aumento de $1 no preço, vendem-se 2 unidades a menos. Se o preço passa a ser
, o aumento em relação a 10 é
e a queda na demanda é
. Logo a demanda é
Passo 3
O lucro por unidade é a diferença entre o preço de venda
e o custo de produção $6. Então a função lucro total é
Expandindo com a propriedade distributiva, obtemos
Passo 4
A função
é uma parábola com coeficiente de
negativo (
), logo tem um máximo dado pelo vértice. A coordenada do vértice em
é
Portanto, o preço ótimo é $13.
Passo 5
Para encontrar o lucro máximo, substituímos
em
ou usamos o fato de que:
Assim, o lucro máximo é $98.
Resposta
O preço que maximiza o lucro é $13 e o lucro máximo é $98.