Derive f(x)=ln (1+sen x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função $ f(x) = \ln\left(1 + \sin x^{2}\right) $. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é ótima para derivar funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Temos uma função logarítmica natural, $ \ln(u) $, onde $ u = 1 + \sin x^{2} $. Sabemos que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, vamos precisar achar a derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u = 1 + \sin x^{2} $. A constante 1, ao ser derivada, vira zero. Então, restou a derivada de $ \sin x^{2} $. Aqui, vamos usar novamente a regra da cadeia, porque temos uma função dentro de outra: o seno de $ x^{2} $.

Passo 4

Para derivar $ \sin x^{2} $, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(v) $ em relação a $ v $ é $ \cos(v) $, e precisamos multiplicar pela derivada de $ v $ em relação a $ x $, onde $ v = x^{2} $. Então:
sin x^2

Passo 5

Voltando à derivada de $ u $:
u
Agora, aplicamos isso na derivada de $ f(x) $:
u' = ddx (1 + sin x^2) = 0 + 2x cos x^2 = 2x cos x^2

Resposta

A derivada de $ f(x) = \ln\left(1 + \sin x^{2}\right) $ é:
f(x) = ln(1 + sin x^2)

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