Calcule as integrais:
integral0^pi / 2 e^sen^2(x) sen(2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2 e^sin^2(x),sin(2x),dx
O conteúdo principal é reconhecer que sin(2x),dx é a diferencial de sin^2(x), então vamos usar a substituição u=sin^2(x).

Passo 2

Definimos
u = sin^2(x)
Pela regra da cadeia,
du = 2sin(x)cos(x),dx = sin(2x),dx
Portanto, a parte sin(2x),dx da integral será exatamente du.

Passo 3

Agora trocamos os limites de integração. Quando x=0, temos
u = sin^2(0)=0,
e quando x=pi/2,
u = sin^2l(tfracpi2r)=1
A integral em x vira uma integral em u:
integral0^pi/2 e^sin^2(x),sin(2x),dx = integralu=0^u=1 e^u,du

Passo 4

A integral de e^u é e^u. Logo,
integral0^1 e^u,du = l[e^ur]0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

e - 1

Exercícios relacionados