Calcule as integrais:
integral(1+ln x) x ln x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral(1+ln x),xln x,dx
O conteúdo aqui envolve técnicas de integração por partes e o reconhecimento de integrais do tipo integral x(ln x)^n,dx.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a integranda expandindo o produto:
(1+ln x),xln x = xln x + x(ln x)^2
Logo
integral(1+ln x),xln x,dx = integral xln x,dx + integral x(ln x)^2,dx

Passo 3

Calcular integral xln x,dx por partes.
Escolhemos
u = ln x, dv = x,dx
para obter
du = 1x,dx, v = x^22
Então
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - 12integral x,dx = x^22ln x - x^24

Passo 4

Calcular integral x(ln x)^2,dx também por partes, agora com
u = (ln x)^2, dv = x,dx,
de onde
du = 2ln xcdot1x,dx, v = x^22
Assim
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - integral x^22cdot2ln xx,dx = x^22(ln x)^2 - integral xln x,dx
Substituindo o resultado do passo anterior,
integral x(ln x)^2,dx = x^22(ln x)^2 - l(x^22ln x - x^24r) = x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24

Passo 5

Somamos as duas parcelas:
integral xln x,dx + integral x(ln x)^2,dx = l(x^22ln x - x^24r) + l(x^22(ln x)^2 - x^22ln x + x^24r) = x^22(ln x)^2

Resposta

x^22(ln x)^2 + C

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