Calcule as integrais:
\int\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x \sqrt{x}}+2\right) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x\sqrt{x}}+2
ou seja, calcular
\int\Bigl(x^{-2}+4\,x^{-\tfrac32}+2\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências, usando a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos cada termo em potência de x:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},\quad \frac{4}{x\sqrt{x}} = 4\,x^{-\tfrac32},\quad 2 = 2\,x^{0}.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
  1. \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
  2. \displaystyle \int 4\,x^{-\tfrac32}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-\tfrac12}}{-\tfrac12} =4\cdot(-2)\,x^{-\tfrac12}=-8\,x^{-\tfrac12}.
  3. \displaystyle \int 2\,x^{0}\,dx = 2\,x.

Passo 4

Somando as primitivas e adicionando a constante C, obtemos
-\,x^{-1}\;-\;8\,x^{-\tfrac12}\;+\;2x\;+\;C.
Voltando à forma original de cada termo:
-\,\frac{1}{x}\;-\;\frac{8}{\sqrt{x}}\;+\;2x\;+\;C.

Resposta

-\,\frac{1}{x}-\frac{8}{\sqrt{x}}+2x+C.

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