Determinar o perfil de temperatura em função da conversão para a reação \mathrm{A} \rightarrow 2 \mathrm{~B}+\mathrm{C} conduzida em um reator batelada adiabático a 300 K , a partir de 74 mol de \mathrm{A}, 22 \mathrm{~mol} de \mathrm{B}, 4 \mathrm{~mol} de C e 666 mol de um inerte S . As capacidades térmicas a pressão constante de \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e S são, respectivamente, 23 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}, 37 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}, 14 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}, 8,3 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}, e a entalpia de reação a 300 K é -1113 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado apresenta uma reação em batelada adiabática
\mathrm{A} \;\longrightarrow\; 2\,\mathrm{B} + \mathrm{C}
com condição inicial T_0=300\\ \mathrm{K} e estoques iniciais \,n_{A0}=74, n_{B0}=22, n_{C0}=4, n_{S}=666 (inerte).
As capacidades térmicas a p constante são \,C_{p,A}=23, C_{p,B}=37, C_{p,C}=14, C_{p,S}=8{,}3 \mathrm{kJ/mol/K}
e a entalpia de reação a 300 K é \Delta H_r=-1113\\ \mathrm{kJ/mol}.
Vamos determinar T em função da conversão X de A.

Passo 2

Definimos a conversão como
X=\frac{n_{A0}-n_A}{n_{A0}},
logo os mols em função de X são
n_A=n_{A0}(1-X),\quad n_B=n_{B0}+2\,n_{A0}X,\quad n_C=n_{C0}+n_{A0}X,\quad n_S=\text{constante}.

Passo 3

Para um reator batelada adiabático vale o balanço de energia
\sum_i n_iC_{p,i}\bigl(T-T_0\bigr) \;+\;n_{A0}\,X\,\Delta H_r \;=\;0.
Isto porque o calor liberado pela reação aquece o sistema inteiro.

Passo 4

Substituindo os n_i e isolando T, obtemos
T = T_0 -\frac{n_{A0}X\,\Delta H_r} {\;n_AC_{p,A}+n_BC_{p,B}+n_CC_{p,C}+n_SC_{p,S}\;}.
Como \Delta H_r<0, o sinal “–” faz o sistema aquecer.

Passo 5

Calculamos o denominador explicitamente:
\begin{aligned} n_AC_{p,A}&=23\bigl(74(1-X)\bigr)=1702-1702X,\\\ n_BC_{p,B}&=37\bigl(22+2\cdot74X\bigr)=814+5476X,\\\ n_CC_{p,C}&=14\bigl(4+74X\bigr)=56+1036X,\\\ n_SC_{p,S}&=8{,}3\cdot666\approx5527{,}8. \end{aligned}
Somando constantes e coeficientes de X:
\sum n_iC_{p,i} =8099{,}8 +4810\,X \quad\bigl[\mathrm{kJ/K}\bigr].

Passo 6

O numerador é
-\,n_{A0}X\,\Delta H_r =-74X\times(-1113)=82362\,X\quad[\mathrm{kJ}].
Logo o perfil final é
T(X) =300 +\frac{82362\,X}{8099{,}8+4810\,X} \quad[\mathrm{K}].

Resposta

\boxed{T(X) =300 +\frac{82362\,X}{8099{,}8+4810\,X}\\ \mathrm{K}.}

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