A espécie A se decompõe em fase gasosa em um mecanismo de uma única etapa, 2 \mathrm{~A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{P}+\mathrm{Q}. A taxa de consumo de A dada por k c_{\mathrm{A}}^{1,7} c_{\mathrm{B}}^{1,2} em que c_{\mathrm{A}} e c_{\mathrm{B}} são as concentrações molares de A e de B, respectivamente, e k=7,8(\mathrm{~mol} / \mathrm{L})^{-1,9}{ }^{-1} é a constante cinética. 0 meio reacional se comporta como gás ideal. É necessário converter 95 \% de A, partindo de uma composição inicial com 0,018 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de A , 0,011 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de B e 0,171 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de um inerte em um processo isotérmico a 298 K . Determine o tempo de reação em um reator batelada de volume constante e em um reator batelada de pressão constante.

Passo 1

O enunciado trata da decomposição gasosa de A segundo a reação
2A + B \to P + Q
com taxa de consumo de A dada por
-r_A \;=\; k\,c_A^{1,7}\,c_B^{1,2},
onde c_A e c_B são as concentrações molares de A e de B, respectivamente, e
k = 7{,}8\;(\mathrm{mol/L})^{-1{,}9}\,\mathrm{s}^{-1}.
Queremos atingir 95\% de conversão de A, a partir de concentrações iniciais \,c_{A0}=0{,}018\;\mathrm{mol/L},\;c_{B0}=0{,}011\;\mathrm{mol/L},\;c_{I0}=0{,}171\;\mathrm{mol/L}
num processo isotérmico a 298 K, em batelada de volume constante (CV) e de pressão constante (CP).

Passo 2

Em batelada de volume constante, as concentrações variam apenas pela estequiometria. Definindo conversão
X = \frac{c_{A0}-c_A}{c_{A0}},
temos
c_A = c_{A0}\,(1 - X), \quad c_B = c_{B0} - \frac{c_{A0}}{2}\,X.
Como -\dfrac{d c_A}{dt}=k\,c_A^{1,7}\,c_B^{1,2}, escreve-se
-\;c_{A0}\,\frac{dX}{dt} = k\,\bigl(c_{A0}(1-X)\bigr)^{1,7}\,\Bigl(c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X\Bigr)^{1,2}
ou seja
\frac{dX}{dt} = k\,c_{A0}^{0,7}\,\frac{(1-X)^{1,7}\,\bigl(c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X\bigr)^{1,2}}{\,1\,}
e o tempo para X=0{,}95 é dado pela integral
t_{\rm CV} = \int_{0}^{0{,}95}\frac{dX}{k\,c_{A0}^{0,7}\,(1-X)^{1,7}\,\bigl(c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X\bigr)^{1,2}}.

Passo 3

Fazendo mudança de variável e avaliando numericamente por método de Simpson (com c_{A0}=0{,}018,\;c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}=0{,}002), obtém-se
t_{\rm CV}\approx4{,}18\times10^{4}\;\mathrm{s} \;\approx11{,}6\;\mathrm{h}.

Passo 4

Em batelada de pressão constante, o volume varia: V/V_0 = 1+\varepsilon X com \varepsilon=(\nu_{\rm prod}-\nu_{\rm reac})/|\nu_A|=(2-3)/2=-0.5. Então
c_A = \frac{c_{A0}(1-X)}{1-0.5X}, \quad c_B = \frac{c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X}{1-0.5X},
e a taxa torna-se
\frac{dX}{dt} = k\,c_{A0}^{0,7}\, \frac{(1-X)^{1,7}\,\bigl(c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X\bigr)^{1,2}}{(1-0.5X)^{2,9}}.
O tempo para X=0{,}95 é
t_{\rm CP} = \int_{0}^{0{,}95} \frac{(1-0.5X)^{2,9}\,dX} {k\,c_{A0}^{0,7}\,(1-X)^{1,7}\,\bigl(c_{B0}-\tfrac{c_{A0}}{2}X\bigr)^{1,2}}.

Passo 5

Calculando numericamen­te essa integral (novamente por Simpson), obtém-se
t_{\rm CP}\approx7{,}24\times10^{3}\;\mathrm{s} \;\approx2{,}0\;\mathrm{h}.

Resposta

t _{\rm CV}\approx4{,}18\times10^{4} s \approx11{,}6 h
t _{\rm CP}\approx7{,}24\times10^{3} s \approx2{,}0 h

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