Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^{2}dx.
O conteúdo que vamos usar é a expansão de binômio e a regra de potências para integrais:
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado do binômio, lembrando que \tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}:
\bigl(x^2 + x^{-1/3}\bigr)^2 = x^4 + 2\,x^{2 + (-1/3)} + x^{-2/3} = x^4 + 2\,x^{5/3} + x^{-2/3}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo:
Para \int x^4\,dx temos
\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}.
Para \int 2\,x^{5/3}\,dx usamos
\int 2\,x^{5/3}\,dx =2\;\frac{x^{5/3+1}}{5/3+1} =2\;\frac{x^{8/3}}{8/3} =\frac{3}{4}\,x^{8/3}.
Para \int x^{-2/3}\,dx damos
\int x^{-2/3}\,dx =\frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} =\frac{x^{1/3}}{1/3} =3\,x^{1/3}.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^{2}dx =\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}\,x^{8/3}+3\,x^{1/3}+C.

Resposta

\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}\,x^{8/3}+3\,x^{1/3}+C.

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