Calcule as integrais:
\int \frac{\operatorname{sen} 3 x}{\sqrt[3]{\cos ^{4} 3 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{\sqrt[3]{\cos^4(3x)}} \,dx
O conteúdo principal é usar substituição para transformar a parte com \operatorname{sen}(3x)\,dx e a potência de \cos(3x) numa potência de uma única variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(3x).
Diferenciando, temos
du = -3\,\operatorname{sen}(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, note que \sqrt[3]{\cos^4(3x)} = (\cos(3x))^{4/3} = u^{4/3}. Logo,
\int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{\sqrt[3]{\cos^4(3x)}}\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(3x)}{u^{4/3}}\,dx = \int -\frac{1}{3}\,u^{-\tfrac{4}{3}}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{-\tfrac{4}{3}}\,du = \frac{u^{-\tfrac{4}{3}+1}}{-\tfrac{4}{3}+1} = \frac{u^{-\tfrac{1}{3}}}{-\tfrac{1}{3}} = -3\,u^{-\tfrac{1}{3}}.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{3} que estava na frente, obtemos
-\frac{1}{3}\,\bigl(-3\,u^{-\tfrac{1}{3}}\bigr) = u^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 5

Voltando a variável x,
u^{-\tfrac{1}{3}} = \bigl(\cos(3x)\bigr)^{-\tfrac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\cos(3x)}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt[3]{\cos(3x)}} + C

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