Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de um polinômio
por . - É uma integral indefinida; portanto o resultado deve conter a constante de integração
.
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Escolha do método (sem muita linguagem técnica aqui, só explicando o raciocínio): quando temos um polinômio multiplicando
, a forma mais direta é usar integração por partes repetida ou usar o “truque” que transforma a integral em uma soma de termos semelhantes. Vou usar integração por partes porque é um método básico, sistemático e fácil de aplicar na prova sem pensar em artifícios. A ideia é escolher o polinômio como parte que se deriva facilmente e
como parte que se integra facilmente.
Passo 3
Relembrando a fórmula de integração por partes (a versão que vai ser usada): se escolhermos
e
tais que
é a derivada de
e
é uma primitiva de
, então
Aqui:
-
é uma função que vamos derivar (escolho o polinômio); -
é a parte que integramos (escolho porque sua primitiva é simples).
Aplicando ao nosso caso, escolho
Então
Substituindo na fórmula:
Definimos a integral restante como
Passo 4
Calcular
também por integração por partes (mesma ideia, polinômio como
):
Escolho
Escolho
Então
Pela fórmula:
A integral
é imediata:
Portanto
Fatorando
:
Passo 5
Voltar à expressão obtida no Passo 3 e substituir
:
Substituindo
:
Fatorando
e combinando termos semelhantes:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (diferenciar para checar): calcular a derivada de
:
Usando a regra do produto,
Usando a regra do produto,
Somando os termos dentro de
:
logo a derivada é
, que é exatamente a integranda. Está correto.