Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio \left(x^{2}-5x\right) por e^{x}.
  • É uma integral indefinida; portanto o resultado deve conter a constante de integração C.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Escolha do método (sem muita linguagem técnica aqui, só explicando o raciocínio): quando temos um polinômio multiplicando e^{x}, a forma mais direta é usar integração por partes repetida ou usar o “truque” que transforma a integral em uma soma de termos semelhantes. Vou usar integração por partes porque é um método básico, sistemático e fácil de aplicar na prova sem pensar em artifícios. A ideia é escolher o polinômio como parte que se deriva facilmente e e^{x} como parte que se integra facilmente.

Passo 3

Relembrando a fórmula de integração por partes (a versão que vai ser usada): se escolhermos u e dv tais que du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar (escolho o polinômio);
  • dv é a parte que integramos (escolho e^{x}\,dx porque sua primitiva é simples).
    Aplicando ao nosso caso, escolho
u = x^{2}-5x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = (2x-5)\,dx,\qquad v = e^{x}.
Substituindo na fórmula:
\int\left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)\,e^{x} - \int e^{x}(2x-5)\,dx.
Definimos a integral restante como
J=\int(2x-5)e^{x}\,dx.

Passo 4

Calcular J=\int(2x-5)e^{x}\,dx também por integração por partes (mesma ideia, polinômio como u):
Escolho
u_1 = 2x-5,\qquad dv_1 = e^{x}\,dx.
Então
du_1 = 2\,dx,\qquad v_1 = e^{x}.
Pela fórmula:
J = (2x-5)e^{x} - \int e^{x}\cdot 2\,dx.
A integral \int 2e^{x}\,dx é imediata:
\int 2e^{x}\,dx = 2e^{x}.
Portanto
J = (2x-5)e^{x} - 2e^{x}.
Fatorando e^{x}:
J = e^{x}(2x-5-2) = e^{x}(2x-7).

Passo 5

Voltar à expressão obtida no Passo 3 e substituir J:
\int\left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)e^{x} - J + C.
Substituindo J = e^{x}(2x-7):
\int\left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = (x^{2}-5x)e^{x} - e^{x}(2x-7) + C.
Fatorando e^{x} e combinando termos semelhantes:
(x^{2}-5x) - (2x-7) = x^{2} -5x -2x +7 = x^{2} -7x +7.
Portanto
\int\left(x^{2}-5x\right)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciar para checar): calcular a derivada de e^{x}(x^{2}-7x+7):
Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(x^{2}-7x+7)\bigr] = e^{x}(x^{2}-7x+7) + e^{x}(2x-7).
Somando os termos dentro de e^{x}(\cdot):
x^{2}-7x+7 + 2x-7 = x^{2}-5x,
logo a derivada é e^{x}(x^{2}-5x), que é exatamente a integranda. Está correto.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr)+C

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