Integração por substituição
\int \sqrt{x} \operatorname{sen}^{2}\left(x^{3 / 2}-1\right) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedem para calcular a antiderivada (primitiva) da função
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(x^{3/2}-1\bigr)\,dx.
  • Informações explícitas: a integranda é o produto de \sqrt{x} com \operatorname{sen}^{2} de uma função interna x^{3/2}-1.
  • Meta: encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(x^{3/2}-1\bigr), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha da substituição (por que fazer isso).
  • Quando a integranda tem uma função composta \operatorname{sen}^{2}( \text{algo} ) e aparece junto uma expressão que é proporcional à derivada do “algo”, é natural tentar a substituição u= (esse “algo”).
  • Aqui o “algo” é x^{3/2}-1. A derivada de x^{3/2} envolve x^{1/2}=\sqrt{x}, que aparece multiplicando \operatorname{sen}^{2}. Portanto escolhemos
u = x^{3/2}-1.

Passo 3

Calcular du e reescrever diferencial.
  • Diferenciando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)\,dx = \frac{3}{2}x^{1/2}\,dx.
  • Isolando x^{1/2}\,dx (que é exatamente \sqrt{x}\,dx presente na integral):
x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,du.

Passo 4

Substituir na integral e simplificar constantes.
  • Substituindo u e x^{1/2}\,dx na integral,
\int \sqrt{x}\,\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(x^{3/2}-1\bigr)\,dx = \int \operatorname{sen}^{2}(u)\cdot\frac{2}{3}\,du.
  • Fatorando a constante:
= \frac{2}{3}\int \operatorname{sen}^{2}(u)\,du.

Passo 5

Integral de \operatorname{sen}^{2}(u): usar identidade trigonométrica.
  • A identidade de ângulo duplo útil é
\operatorname{sen}^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
  • Aplicando na integral:
\int \operatorname{sen}^{2}(u)\,du = \int \frac{1-\cos(2u)}{2}\,du = \frac{1}{2}\int du - \frac{1}{2}\int \cos(2u)\,du.

Passo 6

Calcular as primitivas das parcelas.
  • A primitiva de \frac{1}{2} é \frac{1}{2}u.
  • Para \int \cos(2u)\,du, pode-se lembrar que a derivada de \sin(2u) é 2\cos(2u); assim
\int \cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u).
  • Logo
\int \operatorname{sen}^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}u - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2u) + C = \frac{1}{2}u - \frac{1}{4}\sin(2u) + C.

Passo 7

Voltar à integral com a constante fatorada \frac{2}{3}.
  • Multiplicando pelo fator \frac{2}{3} que ficou fora:
\frac{2}{3}\int \operatorname{sen}^{2}(u)\,du = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}u - \frac{1}{4}\sin(2u)\right) + C = \frac{1}{3}u - \frac{1}{6}\sin(2u) + C.

Passo 8

Substituir u=x^{3/2}-1 de volta e simplificar se desejar.
  • Recolocando u:
F(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{3/2}-1\bigr) - \frac{1}{6}\sin\bigl(2(x^{3/2}-1)\bigr) + C.
  • Observação: a constante -\tfrac{1}{3} pode ser absorvida em C, então uma forma mais enxuta é
F(x)=\frac{1}{3}x^{3/2} - \frac{1}{6}\sin\bigl(2x^{3/2}-2\bigr) + C.
  • Ambas as formas representam a mesma família de primitivas.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)-\frac{1}{6}\sin\bigl(2(x^{3/2}-1)\bigr)+C

Exercícios relacionados