Integração por substituição
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pedem para calcular a antiderivada (primitiva) da função
- Informações explícitas: a integranda é o produto de
com de uma função interna . - Meta: encontrar uma expressão
tal que , mais uma constante de integração .
Passo 2
Escolha da substituição (por que fazer isso).
- Quando a integranda tem uma função composta
e aparece junto uma expressão que é proporcional à derivada do “algo”, é natural tentar a substituição (esse “algo”). - Aqui o “algo” é
. A derivada de envolve , que aparece multiplicando . Portanto escolhemos
Passo 3
Calcular
e reescrever diferencial.
- Diferenciando
em relação a :
- Isolando
(que é exatamente presente na integral):
Passo 4
Substituir na integral e simplificar constantes.
- Substituindo
e na integral,
- Fatorando a constante:
Passo 5
Integral de
: usar identidade trigonométrica.
- A identidade de ângulo duplo útil é
- Aplicando na integral:
Passo 6
Calcular as primitivas das parcelas.
- A primitiva de
é . - Para
, pode-se lembrar que a derivada de é ; assim
- Logo
Passo 7
Voltar à integral com a constante fatorada
.
- Multiplicando pelo fator
que ficou fora:
Passo 8
Substituir
de volta e simplificar se desejar.
- Recolocando
:
- Observação: a constante
pode ser absorvida em , então uma forma mais enxuta é
- Ambas as formas representam a mesma família de primitivas.