Calcule as integrais.
\int\left[e^{x}-x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right] d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int\left[e^{x}-x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right]dx.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A função integranda é a soma de quatro termos: e^{x}, -x^{3}, \operatorname{sen}(x) e -\dfrac{1}{x}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, i.e., uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}-x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\dfrac{1}{x}.
    Observação rápida: em notação usual de matemática, \operatorname{sen}(x) é a mesma função que \sin(x).

Passo 2

Propriedade principal que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser colocadas fora da integral. Em fórmula:
\int\bigl(a(x)+b(x)+c(x)+d(x)\bigr)dx = \int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx+\int c(x)\,dx+\int d(x)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\int\left[e^{x}-x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right]dx = \int e^{x}\,dx -\int x^{3}\,dx +\int \operatorname{sen}(x)\,dx -\int \frac{1}{x}\,dx.
Agora vamos achar cada uma dessas quatro primitivas separadamente.

Passo 3

Integral de \,e^{x}.
Teoria rápida: a função exponencial \,e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Portanto uma primitiva de e^{x} é a própria e^{x}.
Conclusão:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
(Adiciona-se constante de integração só no final, por convenção.)

Passo 4

Integral de -x^{3}.
Teoria rápida: regra da potência para antiderivadas. Se n\neq -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=3. Aplicando e lembrando do sinal negativo:
\int (-x^{3})\,dx = -\int x^{3}\,dx = -\frac{x^{3+1}}{3+1} = -\frac{x^{4}}{4}.
Explicando devagar: aumentou-se o expoente em 1 (de 3 para 4) e dividiu-se por esse novo expoente ( 4), mantendo o sinal negativo.

Passo 5

Integral de \operatorname{sen}(x) (i.e., \sin(x)).
Teoria rápida: a derivada do cosseno é -\sin(x), isto é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x). Portanto uma primitiva de \sin(x) é -\cos(x), pois derivando -\cos(x) volta-se a \sin(x).
Conclusão:
\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 6

Integral de -\dfrac{1}{x}.
Teoria rápida: para x\neq 0, a primitiva de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural do valor absoluto: \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|. O valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, mas a derivada de \ln|x| para x\neq 0 é \dfrac{1}{x}.
Aplicando o sinal negativo:
\int \left(-\frac{1}{x}\right)dx = -\ln|x|.

Passo 7

Juntando mentalmente (sem repetir a expressão final aqui): somando as primitivas parciais encontradas e lembrando de adicionar a constante de integração C, obtém-se a primitiva geral da função integranda. Essa primitiva é a resposta final do problema.

Resposta

e^{x}-\frac{x^{4}}{4}-\cos(x)-\ln|x|+C

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