Calcule as integrais.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A função integranda é a soma de quatro termos:
, , e . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa soma, i.e., uma função
tal que .
Observação rápida: em notação usual de matemática,é a mesma função que .
Passo 2
Propriedade principal que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser colocadas fora da integral. Em fórmula:
Aplicando ao nosso caso:
Agora vamos achar cada uma dessas quatro primitivas separadamente.
Passo 3
Integral de
.
Teoria rápida: a função exponencial é especial porque sua derivada é ela mesma:
. Portanto uma primitiva de
é a própria
.
Conclusão:
Teoria rápida: a função exponencial
Conclusão:
(Adiciona-se constante de integração só no final, por convenção.)
Passo 4
Integral de
.
Teoria rápida: regra da potência para antiderivadas. Se , então
Teoria rápida: regra da potência para antiderivadas. Se
No nosso caso
. Aplicando e lembrando do sinal negativo:
Explicando devagar: aumentou-se o expoente em 1 (de
para
) e dividiu-se por esse novo expoente (
), mantendo o sinal negativo.
Passo 5
Integral de
(i.e.,
).
Teoria rápida: a derivada do cosseno é , isto é
. Portanto uma primitiva de
é
, pois derivando
volta-se a
.
Conclusão:
Teoria rápida: a derivada do cosseno é
Conclusão:
Passo 6
Integral de
.
Teoria rápida: para , a primitiva de
é o logaritmo natural do valor absoluto:
. O valor absoluto é importante porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, mas a derivada de
para
é
.
Aplicando o sinal negativo:
Teoria rápida: para
Aplicando o sinal negativo:
Passo 7
Juntando mentalmente (sem repetir a expressão final aqui): somando as primitivas parciais encontradas e lembrando de adicionar a constante de integração
, obtém-se a primitiva geral da função integranda. Essa primitiva é a resposta final do problema.