Calcule as integrais iteradas abaixo:
a) integral0^2 integral1^3(x^2+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^2 integral1^3(x^2+y) , dy , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral1^3 (x^2 + y) , dy. Como $ x $ é tratado como uma constante nessa parte, podemos separar a integral:
x
A primeira parte, $ \int x^{2} , dy $, é simplesmente $ x^{2} $ multiplicado pela variação de $ y $, que de 1 a 3 é 2. Então:
integral1^3 x^2 , dy + integral1^3 y , dy
A segunda parte, $ \int y , dy $, é a integral de $ y $, que é $ \frac{1}{2}y^{2} $, avaliada de 1 a 3:
integral x^2 , dy
Então, a integral interna totaliza:
x^2

Passo 3

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
x
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral0^2 (2x^2 + 4) , dx
A primeira integral, $ \int x^{2} , dx $, é $ \frac{1}{3}x^{3} $, avaliada de 0 a 2:
2 integral0^2 x^2 , dx + 4 integral0^2 , dx
A segunda integral, $ \int , dx $, é simplesmente $ x $, avaliada de 0 a 2:
integral x^2 , dx
Somando as duas partes:
13x^3

Resposta

O valor da integral dupla é 403.

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