Calcule as integrais iteradas abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes quando temos funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Como $ x $ é tratado como uma constante nessa parte, podemos separar a integral:
A primeira parte, $ \int x^{2} , dy $, é simplesmente $ x^{2} $ multiplicado pela variação de $ y $, que de 1 a 3 é 2. Então:
A segunda parte, $ \int y , dy $, é a integral de $ y $, que é $ \frac{1}{2}y^{2} $, avaliada de 1 a 3:
Então, a integral interna totaliza:
Passo 3
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a $ x $:
Podemos separar essa integral em duas partes:
A primeira integral, $ \int x^{2} , dx $, é $ \frac{1}{3}x^{3} $, avaliada de 0 a 2:
A segunda integral, $ \int , dx $, é simplesmente $ x $, avaliada de 0 a 2:
Somando as duas partes:
Resposta
O valor da integral dupla é
.