Resolva os exercícios aplicando a regra da cadeia à equação de vínculo entre as variáveis para obter as taxas relacionadas.
Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada estiver a 3 m da parede? (Dica: teorema de Pitágoras) Resposta:
Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
Passo 1
O problema fala de uma escada de comprimento constante apoiada num muro, onde a base desliza horizontalmente e o topo escorrega verticalmente. O conteúdo principal envolve taxas relacionadas e a regra da cadeia, usando o teorema de Pitágoras para relacionar as variáveis.
Passo 2
Definimos as variáveis: seja
a distância da base da escada ao muro e
a altura do topo da escada na parede. Pelo teorema de Pitágoras, como o comprimento é 5 m, temos a equação de vínculo:
Passo 3
Agora aplicamos derivação implícita em relação ao tempo
. Usando a regra da cadeia em cada termo, obtemos:
Isso porque a derivada de
Passo 4
Isolamos
na equação resultante:
Isso mostra que a velocidade vertical depende da razão entre as posições
Passo 5
Para encontrar o valor numérico, usamos que quando
m, da relação
vem
m; e foi dado
m/s. Substituindo:
Portanto o topo escorrega para baixo a
Passo 6
Este valor negativo indica justamente que a altura
está diminuindo, ou seja, o topo desce.
Resposta
-\tfrac{3}{4} m/s