Resolva os exercícios aplicando a regra da cadeia à equação de vínculo entre as variáveis para obter as taxas relacionadas.
Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m / s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada estiver a 3 m da parede? (Dica: teorema de Pitágoras) Resposta: -34 m / s

Passo 1

O problema fala de uma escada de comprimento constante apoiada num muro, onde a base desliza horizontalmente e o topo escorrega verticalmente. O conteúdo principal envolve taxas relacionadas e a regra da cadeia, usando o teorema de Pitágoras para relacionar as variáveis.

Passo 2

Definimos as variáveis: seja x(t) a distância da base da escada ao muro e y(t) a altura do topo da escada na parede. Pelo teorema de Pitágoras, como o comprimento é 5 m, temos a equação de vínculo:
x^2 + y^2 = 5^2 = 25

Passo 3

Agora aplicamos derivação implícita em relação ao tempo t. Usando a regra da cadeia em cada termo, obtemos:
2xdxdt + 2ydydt = 0
Isso porque a derivada de x^2 é 2x,dx/dt e de y^2 é 2y,dy/dt.

Passo 4

Isolamos dy/dt na equação resultante:
2ydydt = -2xdxdt Longrightarrow dydt = -xydxdt
Isso mostra que a velocidade vertical depende da razão entre as posições x e y e da velocidade dx/dt.

Passo 5

Para encontrar o valor numérico, usamos que quando x=3 m, da relação x^2+y^2=25 vem y=4 m; e foi dado dx/dt=1 m/s. Substituindo:
dydt = -34cdot 1 = -tfrac34,m/s
Portanto o topo escorrega para baixo a 0,75 m/s.

Passo 6

Este valor negativo indica justamente que a altura y está diminuindo, ou seja, o topo desce.

Resposta

-\tfrac{3}{4} m/s

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