Calcule as integrais iteradas.
\int_{1}^{\frac{3}{2}} \int_{y}^{3-y} y \mathrm{dxdy}

Passo 1

No enunciado temos a integral iterada \displaystyle \int_{1}^{\tfrac{3}{2}} \int_{y}^{3-y} y \,dx\,dy.
O conteúdo é cálculo de integral dupla por integração iterada: primeiro em x (mantendo y fixo) e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna, y é constante em relação a x, então
\int_{x=y}^{x=3-y} y\,dx = y\bigl[(3-y)-y\bigr] = y(3-2y).

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{1}^{\tfrac{3}{2}} y(3-2y)\,dy = \int_{1}^{\tfrac{3}{2}} \bigl(3y-2y^2\bigr)\,dy.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de 3y-2y^2:
\int \bigl(3y-2y^2\bigr)\,dy = \tfrac{3}{2}y^2 - \tfrac{2}{3}y^3.
Avaliando de y=1 até y=\tfrac{3}{2}:
\Bigl(\tfrac{3}{2}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2 - \tfrac{2}{3}\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^3\Bigr) - \Bigl(\tfrac{3}{2}\cdot1^2 - \tfrac{2}{3}\cdot1^3\Bigr) = \Bigl(\tfrac{27}{8} - \tfrac{9}{4}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{3}\Bigr) = \tfrac{9}{8} - \tfrac{5}{6} = \tfrac{7}{24}.

Resposta

\tfrac{7}{24}

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