3 Use uma integral dupla para calcular o volume sob a superfície z=3 x^{2}+4 y^{3} e acima do retângulo onde 1 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume sob a superfície z=3x^2+4y^3 acima do retângulo
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le3,\;0\le y\le2\}.
Para calcular esse volume usamos uma integral dupla e, como R é retangular, aplicamos o Teorema de Fubini para escrever
V=\iint_{R}(3x^2+4y^3)\,dA =\int_{x=1}^{3}\int_{y=0}^{2}(3x^2+4y^3)\,dy\,dx.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em relação a y. Note que
\int_{y=0}^{2}(3x^2+4y^3)\,dy =3x^2\int_{0}^{2}dy \;+\;4\int_{0}^{2}y^3\,dy.
Aqui usamos a propriedade da soma e o fato de 3x^2 ser constante em y.

Passo 3

Calcule cada parte separadamente:
\int_{0}^{2}dy=2,
\int_{0}^{2}y^3\,dy=\Bigl[\tfrac{1}{4}y^4\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{1}{4}\cdot(2^4-0)=4.
Logo
\int_{0}^{2}(3x^2+4y^3)\,dy =3x^2\cdot2+4\cdot4 =6x^2+16.

Passo 4

Agora integramos em x:
V=\int_{x=1}^{3}(6x^2+16)\,dx =6\int_{1}^{3}x^2\,dx+16\int_{1}^{3}dx.
Calculando:
\int_{1}^{3}x^2\,dx =\Bigl[\tfrac{1}{3}x^3\Bigr]_{1}^{3} =\tfrac{1}{3}(27-1)=\tfrac{26}{3},
\int_{1}^{3}dx=3-1=2.
Então
V=6\cdot\tfrac{26}{3}+16\cdot2 =2\cdot26+32 =52+32 =84.

Resposta

O volume sob a superfície acima do retângulo é 84.

Exercícios relacionados