Calcule as integrais iteradas
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1+\cos \theta} r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1+\cos \theta} r\, dr\, d\theta.
Informações dadas:
\text{limites: } \theta\in[0,\pi],\quad r\in\bigl[0,\,1+\cos\theta\bigr],
\text{integrando: } r.
Objetivo: obter o valor numérico da integral dupla iterada acima.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral interna em r, tratando \theta como constante. Preciso de uma primitiva de r em relação a r. A primitiva de r é
\frac{1}{2}r^{2},
pois ao derivar \frac{1}{2}r^{2} em relação a r obtemos r. Portanto, avaliando de r=0 até r=1+\cos\theta temos
\int_{0}^{1+\cos\theta} r\, dr = \left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{1+\cos\theta} = \frac{1}{2}\bigl(1+\cos\theta\bigr)^{2}.

Passo 3

Agora a integral sobre \theta fica
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\bigl(1+\cos\theta\bigr)^{2} d\theta.
Expando o quadrado para facilitar:
\bigl(1+\cos\theta\bigr)^{2} = 1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta.
Logo a integral é
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\bigl(1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta\bigr)d\theta.

Passo 4

Para integrar \cos^{2}\theta uso a identidade envolvendo o ângulo duplo. A identidade é obtida a partir de \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta - 1. Reorganizando:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Substituindo na integral:
1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta = 1 + 2\cos\theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Somando os termos constantes:
1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
portanto
1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta = \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (do fator externo) obtemos a função a integrar em \theta:
\frac{1}{2}\bigl(1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta\bigr) = \frac{3}{4} + \cos\theta + \frac{1}{4}\cos 2\theta.

Passo 5

Integro termo a termo em \theta no intervalo [0,\pi].
Primitivas:
\int \frac{3}{4}\, d\theta = \frac{3}{4}\theta,
\int \cos\theta\, d\theta = \sin\theta,
\int \frac{1}{4}\cos 2\theta\, d\theta = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\sin 2\theta = \frac{1}{8}\sin 2\theta.
Agora avalio de 0 a \pi:
\left.\frac{3}{4}\theta\right|_{0}^{\pi} = \frac{3}{4}\pi,
\left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0,
\left.\frac{1}{8}\sin 2\theta\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{8}(\sin 2\pi - \sin 0) = 0.
Somando os resultados:
\frac{3}{4}\pi + 0 + 0 = \frac{3\pi}{4}.

Passo 6

Conclusão: a integral iterada avalia para \dfrac{3\pi}{4}. Uma interpretação rápida (se quiser lembrar na prova): a integral \int r\,dr\,d\theta frequentemente representa cálculo de área em coordenadas polares; aqui a região radial vai até r=1+\cos\theta para \theta\in[0,\pi], e o valor final corresponde à área dessa região.

Resposta

\dfrac{3\pi}{4}

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