(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
Calcule a derivada
Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
Informações dadas:
Pergunta clara: encontrar a derivada em relação a
dessa integral em que o limite superior é uma função de
.
Passo 2
Princípio que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo — parte 2): se
e
é contínua, então
Intuição rápida: a derivada de uma área acumulada até
é a altura do integrando em
. Aqui isso vale porque
é contínua em todo
.
Passo 3
Regra da cadeia (para composição): se
, então
Explicando: primeiro derivamos a função externa em relação ao argumento (isso dá
avaliado em
) e depois multiplicamos pela derivada do argumento
.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
A função que queremos derivar é
com
. Usando a regra da cadeia:
Agora substituímos
e
.
Passo 5
Conclusão do cálculo:
Dica prática para a prova: sempre identifique
(o integrando) e
(o limite variável). A fórmula pronta é
desde que
seja contínua.
Passo 6
Exemplo extra (rápido) para fixar: se tivéssemos
, então por mesma razão