(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
Calcule a derivada \frac{d}{d x} \int_{3}^{\operatorname{sen} x} \frac{1}{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada
\frac{d}{d x}\int_{3}^{\operatorname{sen} x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando: } f(t)=\frac{1}{1+t^{2}},\qquad \text{limite inferior: }3\\ (\text{constante}),\qquad \text{limite superior: }g(x)=\operatorname{sen} x.
Pergunta clara: encontrar a derivada em relação a x dessa integral em que o limite superior é uma função de x.

Passo 2

Princípio que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo — parte 2): se
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt
e f é contínua, então
F'(u)=f(u).
Intuição rápida: a derivada de uma área acumulada até u é a altura do integrando em u. Aqui isso vale porque \frac{1}{1+t^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Regra da cadeia (para composição): se H(x)=F(g(x)), então
H'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando: primeiro derivamos a função externa em relação ao argumento (isso dá F' avaliado em g(x)) e depois multiplicamos pela derivada do argumento g(x).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: defina
F(u)=\int_{3}^{u}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
F'(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
A função que queremos derivar é H(x)=F(g(x)) com g(x)=\operatorname{sen} x. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\int_{3}^{\operatorname{sen} x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =F'(\operatorname{sen} x)\cdot (\operatorname{sen} x)'.
Agora substituímos F'(\operatorname{sen} x)=\dfrac{1}{1+\operatorname{sen}^{2}x} e (\operatorname{sen} x)'=\cos x.

Passo 5

Conclusão do cálculo:
\frac{d}{dx}\int_{3}^{\operatorname{sen} x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt =\frac{1}{1+\operatorname{sen}^{2}x}\cdot\cos x =\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}.
Dica prática para a prova: sempre identifique f(t) (o integrando) e g(x) (o limite variável). A fórmula pronta é
\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x),
desde que f seja contínua.

Passo 6

Exemplo extra (rápido) para fixar: se tivéssemos \dfrac{d}{dx}\int_{3}^{x^{2}}\dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt, então por mesma razão
\frac{d}{dx}\int_{3}^{x^{2}}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{4}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}

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