Calcule as integrais iteradas convertendo para coordenadas polares. \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d y d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, dy \, dx.
Informações dadas:
O integrando é e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
Os limites externos são x de -2 até 2.
Os limites internos são y de -\sqrt{4-x^{2}} até \sqrt{4-x^{2}}.
Esses limites descrevem a região do plano onde x^{2}+y^{2}\le 4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem).
A tarefa é calcular a integral usando coordenadas polares, ou seja, converter a integral para polares e avaliar.
Passo 2
Vamos lembrar a mudança para coordenadas polares. Definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
\,r\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem;
\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Essas fórmulas transformam um ponto (x,y) do plano cartesiano para o par (r,\theta).
Passo 3
Precisamos do fator de escala (Jacobian) da transformação. A área elementar dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Vou mostrar uma derivação rápida através do determinante da matriz jacobiana:
Portanto dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Intuição alternativa: uma pequena variação \Delta r e \Delta\theta gera um elemento de área aproximado r\,\Delta r\,\Delta\theta.]
Logo o integrando em coordenadas polares fica e^{-r^{2}}\,r.
Passo 5
Determinar os novos limites. A região original é o disco de raio 2 centrado na origem (pois y vai de -\sqrt{4-x^{2}} a \sqrt{4-x^{2}} para x\in[-2,2]). Em polares isso corresponde a:
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Explicando: \theta percorre toda a volta (o disco ocupa todos os ângulos) e r vai da origem até o raio 2.
Passo 6
Escrevemos a integral dupla em polares com os limites encontrados:
Agora avaliamos a integral interna em r:
use a substituição \,u=r^{2}. Então \,du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du. Quando r=0 tem u=0; quando r=2 tem u=4. Assim
\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\, dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{-u}\, du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).
Passo 8
Substituindo o resultado da integral em r na integral em \theta:
Resumo prático para a prova: identifique a região (aqui um disco), troque x^{2}+y^{2} por r^{2}, lembre do fator r do Jacobiano, escolha r de 0 ao raio e \theta cobrindo os ângulos necessários (aqui 0 a 2\pi), e então faça a substituição u=r^{2} para integrar facilmente. Vai dar certo — força aí!