Calcule as integrais iteradas convertendo para coordenadas polares.
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \, dy \, dx.
Informações dadas:
  1. O integrando é e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
  2. Os limites externos são x de -2 até 2.
  3. Os limites internos são y de -\sqrt{4-x^{2}} até \sqrt{4-x^{2}}.
  4. Esses limites descrevem a região do plano onde x^{2}+y^{2}\le 4 (ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem).
    A tarefa é calcular a integral usando coordenadas polares, ou seja, converter a integral para polares e avaliar.

Passo 2

Vamos lembrar a mudança para coordenadas polares. Definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
  • \,r\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem;
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
    Essas fórmulas transformam um ponto (x,y) do plano cartesiano para o par (r,\theta).

Passo 3

Precisamos do fator de escala (Jacobian) da transformação. A área elementar dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Vou mostrar uma derivação rápida através do determinante da matriz jacobiana:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Intuição alternativa: uma pequena variação \Delta r e \Delta\theta gera um elemento de área aproximado r\,\Delta r\,\Delta\theta.]

Passo 4

Converter o integrando e o elemento de área:
x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad e^{-(x^{2}+y^{2})}=e^{-r^{2}},\qquad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo o integrando em coordenadas polares fica e^{-r^{2}}\,r.

Passo 5

Determinar os novos limites. A região original é o disco de raio 2 centrado na origem (pois y vai de -\sqrt{4-x^{2}} a \sqrt{4-x^{2}} para x\in[-2,2]). Em polares isso corresponde a:
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Explicando: \theta percorre toda a volta (o disco ocupa todos os ângulos) e r vai da origem até o raio 2.

Passo 6

Escrevemos a integral dupla em polares com os limites encontrados:
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\,dx = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\, dr\, d\theta.

Passo 7

Agora avaliamos a integral interna em r:
use a substituição \,u=r^{2}. Então \,du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du. Quando r=0 tem u=0; quando r=2 tem u=4. Assim
\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\, r\, dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{-u}\, du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 8

Substituindo o resultado da integral em r na integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\right)\, d\theta = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr)\cdot 2\pi = \pi\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 9

Resumo prático para a prova: identifique a região (aqui um disco), troque x^{2}+y^{2} por r^{2}, lembre do fator r do Jacobiano, escolha r de 0 ao raio e \theta cobrindo os ângulos necessários (aqui 0 a 2\pi), e então faça a substituição u=r^{2} para integrar facilmente. Vai dar certo — força aí!

Resposta

\pi\left(1-e^{-4}\right)

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