Calcule as integrais iteradas.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2 x} x y^{3} d y d x
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2 x} x y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2x} x\,y^{3}\,d y\,d x
Aqui o conteúdo é integração iterada: primeiro integramos em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{2x} x\,y^{3}\,d y = x \int_{0}^{2x} y^{3}\,d y = x \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2x} = x \cdot \frac{(2x)^{4}}{4} = x \cdot \frac{16\,x^{4}}{4} =4\,x^{5}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{1}^{2}4\,x^{5}\,d x =4\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{1}^{2} =\frac{4}{6}\bigl(2^{6}-1^{6}\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(64-1\bigr) =\frac{2}{3}\cdot63 =42.

Resposta

42

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