Resolva as equações por separação de Variáveis.
y^{\prime}=(x+1)^{2} \cdot y

Passo 1

O enunciado pede resolver por separação de variáveis a equação diferencial
y' = (x+1)^{2}\,y
. Trata-se de uma equação de 1.º ordem separável, em que devemos escrever todos os termos envolvendo y de um lado e os envolvendo x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo por y e multiplicando por dx:
\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2}y \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = (x+1)^{2}\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int (x+1)^{2}\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais separadamente. A esquerda dá
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert,
e a direita dá
\int (x+1)^{2}\,dx = \frac{(x+1)^{3}}{3}.
Logo
\ln\lvert y\rvert = \frac{(x+1)^{3}}{3} + C,
em que C é a constante de integração.

Passo 5

Isole y exponenciando:
\lvert y\rvert = e^{\frac{(x+1)^{3}}{3} + C} = e^{C}\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}}.
Definindo K = \pm e^{C} como constante arbitrária, obtemos
y = K\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}}.

Resposta

y(x) = K\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}},
com K\in\mathbb{R}.

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