Resolva as equações por separação de Variáveis.
y^{\prime}=(x+1)^{2} \cdot y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = (x+1)^{2}\,y
pelo método de separação de variáveis. Vamos separar y e x em lados opostos e, em seguida, integrar cada um.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{dy}{y} = (x+1)^{2}\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int \frac{dy}{y} = \int (x+1)^{2}\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais. No lado esquerdo temos
\int \frac{dy}{y} = \ln\bigl|y\bigr|,
e no direito
\int (x+1)^{2}\,dx = \frac{(x+1)^{3}}{3} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Igualando e exponenciando, obtemos
\ln\bigl|y\bigr| = \frac{(x+1)^{3}}{3} + C \quad\Longrightarrow\quad \bigl|y\bigr| = e^{C}\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}}.
Definindo A = \pm e^{C}, a solução geral fica
y(x) = A\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}},
incluindo a solução trivial y\equiv0 quando A=0.

Resposta

y(x) = C\,e^{\frac{(x+1)^{3}}{3}}, \quad C\in\mathbb{R}.

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