Calcule as integrais iteradas. \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} y \operatorname{sen} x d y d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x \,dy\,dx.
Informações dadas:
A função integranda é \,y\,\operatorname{sen} x\,.
A integração interna é em relação a y com limites y=0 até y=1.
A integração externa é em relação a x com limites x=0 até x=2.
A tarefa é executar primeiro a integral interna e depois a externa, obtendo o valor numérico (ou expressão exata) do resultado.
Passo 2
Ideia e propriedades úteis (passo-a-passo didático):
Numa integral iterada \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx, ao calcular a integral interna \int_{c}^{d} f(x,y)\,dy trata-se x como constante (porque a integração interna é só em y).
Se a função é separável no produto de uma parte em x por uma parte em y, isto é, f(x,y)=g(x)\,h(y), então podemos escrever \int_{c}^{d} g(x)h(y)\,dy = g(x)\int_{c}^{d} h(y)\,dy — ou seja, puxamos g(x) para fora da integral em y.
Aqui f(x,y)=y\,\operatorname{sen} x é separável: g(x)=\operatorname{sen} x e h(y)=y. Logo, ao integrar em y podemos considerar \operatorname{sen} x como constante.
Passo 3
Calcular a integral interna:
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x \,dy
Puxando \operatorname{sen} x para fora (pois não depende de y):
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x \,dy = \operatorname{sen} x \int_{0}^{1} y \,dy.
Agora calculamos \int_{0}^{1} y \,dy. Usamos a fórmula básica da primitiva de y: uma primitiva é \dfrac{y^{2}}{2}. Portanto,
\int_{0}^{1} y \,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Substituindo:
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{sen} x \,dy = \operatorname{sen} x \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\,\operatorname{sen} x.
Passo 4
Agora fazemos a integral externa usando o resultado do passo anterior:
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{2}\,\operatorname{sen} x\right)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}\operatorname{sen} x \,dx.
Sabendo que a primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x, temos
Este é o valor exato da integral iterada pedida. (Opcionalmente, se quiser uma aproximação numérica: \cos 2\approx -0{,}4161468, então \dfrac{1-\cos 2}{2}\approx \dfrac{1-(-0{,}4161468)}{2}\approx 0{,}7080734.)