Calcule as integrais iteradas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A integral interna é em
, com limites a . - A integral externa é em
, com limites a .
A tarefa é calcular essa integral dupla feita em ordemprimeiro e depois .
Passo 2
Conceito prático (passo-a-passo): quando calculamos a integral interna
, tratamos
como constante porque estamos integrando em relação a
. Também usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Portanto
Explicando as fórmulas que vamos usar:
- Se
é constante em relação a , então . - A primitiva de
é , isto é .
Aplicando essas ideias vamos calcular a integral interna.
Passo 3
Calcular cada termo da integral interna:
Para o primeiro termo, é constante em
, então
Para o primeiro termo,
Para o segundo termo, use a primitiva de
:
Portanto a integral interna vale
Passo 4
Agora a integral iterada reduz-se a uma integral simples em
:
A primitiva de
em
é
, pois
. Então ao avaliar nos limites
e
obtemos
Passo 5
Chegamos à expressão final da avaliação da integral; agora efetue a multiplicação e escreva o resultado final na seção de resposta.