Calcule as integrais iteradas.
\int_{1}^{3} \int_{-1}^{1}(2 x-4 y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{3}\int_{-1}^{1}(2x-4y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é (2x-4y).
  • A integral interna é em y, com limites -1 a 1.
  • A integral externa é em x, com limites 1 a 3.
    A tarefa é calcular essa integral dupla feita em ordem dy primeiro e depois dx.

Passo 2

Conceito prático (passo-a-passo): quando calculamos a integral interna \int_{-1}^{1}(2x-4y)\,dy, tratamos x como constante porque estamos integrando em relação a y. Também usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Portanto
\int_{-1}^{1}(2x-4y)\,dy =\int_{-1}^{1}2x\,dy-\int_{-1}^{1}4y\,dy.
Explicando as fórmulas que vamos usar:
  • Se a é constante em relação a y, então \int a\,dy = a y + C.
  • A primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, isto é \int y\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2}+C.
    Aplicando essas ideias vamos calcular a integral interna.

Passo 3

Calcular cada termo da integral interna:
Para o primeiro termo, 2x é constante em y, então
\int_{-1}^{1}2x\,dy = 2x\cdot\bigl[y\bigr]_{y=-1}^{y=1} = 2x\cdot(1-(-1)) = 2x\cdot 2 = 4x.
Para o segundo termo, use a primitiva de y:
\int_{-1}^{1}4y\,dy = 4\cdot\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=-1}^{y=1} =4\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(1^{2}-(-1)^{2}\bigr) =2\cdot(1-1)=2\cdot 0=0.
Portanto a integral interna vale
\int_{-1}^{1}(2x-4y)\,dy = 4x - 0 = 4x.

Passo 4

Agora a integral iterada reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{1}^{3} \left(\int_{-1}^{1}(2x-4y)\,dy\right) dx = \int_{1}^{3} 4x\,dx.
A primitiva de 4x em x é 2x^{2}, pois \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x. Então ao avaliar nos limites 1 e 3 obtemos
\bigl[2x^{2}\bigr]_{x=1}^{x=3}=2\cdot(3^{2}-1^{2})=2\cdot(9-1).

Passo 5

Chegamos à expressão final da avaliação da integral; agora efetue a multiplicação e escreva o resultado final na seção de resposta.

Resposta

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