Exercício 15. Prove que as retas 2 x+3 y-1=0, x+y=0 e 3 x+4 y-1=0 concorrem no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado pede para provar que as três retas
2x+3y-1=0,\quad x+y=0,\quad 3x+4y-1=0
concorrem no mesmo ponto.
Informações dadas:
  • Temos as três equações lineares acima (cada uma representa uma reta no plano).
  • A tarefa é mostrar que existe um ponto (x,y) que satisfaz as três equações simultaneamente (ou seja, que as três retas passam pelo mesmo ponto).

Passo 2

Entendendo o que significa “interseção de retas” e o método que vamos usar.
Quando duas retas se intersectam, o ponto de interseção é a solução do sistema formado pelas equações dessas duas retas. Portanto, para achar o ponto comum das primeiras duas retas, basta resolver o sistema
\begin{cases} 2x+3y-1=0,\\[4pt] x+y=0. \end{cases}
Aqui x e y são as coordenadas do ponto de interseção que procuramos. Vou usar o método da substituição (simples e direto): isolar uma variável numa equação e substituir na outra.]

Passo 3

Isolar x em \;x+y=0\;:
x=-y.
Substituir x=-y na equação \;2x+3y-1=0\;:
2(-y)+3y-1=0.
Agora simplificar passo a passo:
-2y+3y-1=0,
y-1=0,
y=1.
Com y=1 e x=-y, obtemos
x=-1.
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto \;(-1,1)\;.

Passo 4

Verificar se a terceira reta também passa por esse ponto (isto é, se (-1,1) satisfaz \;3x+4y-1=0\;). Substituindo:
3(-1)+4(1)-1 = -3+4-1.
Calcular passo a passo:
-3+4-1 = 1-1 = 0.
Como o resultado é 0, o ponto (-1,1) satisfaz a equação \;3x+4y-1=0\;. Logo a terceira reta também passa por (-1,1).

Passo 5

Conclusão lógica: as primeiras duas retas se intersectam em (-1,1) e a terceira reta também contém esse ponto; portanto as três retas concorrem no mesmo ponto (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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