Exercício 15. Prove que as retas
e
concorrem no mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado pede para provar que as três retas
concorrem no mesmo ponto.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos as três equações lineares acima (cada uma representa uma reta no plano).
- A tarefa é mostrar que existe um ponto
que satisfaz as três equações simultaneamente (ou seja, que as três retas passam pelo mesmo ponto).
Passo 2
Entendendo o que significa “interseção de retas” e o método que vamos usar.
Quando duas retas se intersectam, o ponto de interseção é a solução do sistema formado pelas equações dessas duas retas. Portanto, para achar o ponto comum das primeiras duas retas, basta resolver o sistema
Quando duas retas se intersectam, o ponto de interseção é a solução do sistema formado pelas equações dessas duas retas. Portanto, para achar o ponto comum das primeiras duas retas, basta resolver o sistema
Aqui
e
são as coordenadas do ponto de interseção que procuramos. Vou usar o método da substituição (simples e direto): isolar uma variável numa equação e substituir na outra.]
Passo 3
Isolar
em
:
Substituir
na equação
:
Agora simplificar passo a passo:
Com
e
, obtemos
Portanto as duas primeiras retas se intersectam no ponto
.
Passo 4
Verificar se a terceira reta também passa por esse ponto (isto é, se
satisfaz
). Substituindo:
Calcular passo a passo:
Como o resultado é
, o ponto
satisfaz a equação
. Logo a terceira reta também passa por
.
Passo 5
Conclusão lógica: as primeiras duas retas se intersectam em
e a terceira reta também contém esse ponto; portanto as três retas concorrem no mesmo ponto
.