Calcule as integrais iteradas:
integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y,dy,dx
Esse problema envolve integração de funções exponenciais e o teorema de Fubini, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, observe que
e^x+y = e^x , e^y,
logo podemos fatorar e^x fora da integral em y:
integral0^ln 2 e^x+y,dy = e^x integral0^ln 2 e^y,dy

Passo 3

A primitiva de e^y é e^y. Então
integral0^ln 2 e^y,dy = e^y|0^ln 2 = e^ln 2 - e^0 = 2 - 1 = 1
Portanto
integral0^ln 2 e^x+y,dy = e^x cdot 1 = e^x

Passo 4

Substituindo no integral externo, fica
integral0^ln 3 e^x,dx

Passo 5

A primitiva de e^x é e^x. Logo
integral0^ln 3 e^x,dx = e^x|0^ln 3 = e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2

Resposta

2

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