Verifique se as seguintes sequências são limitadas e monónotas.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar a propriedade da função seno para limites e a diferença entre termos para monotonicidade.
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar a propriedade da função seno para limites e a diferença entre termos para monotonicidade.
Passo 2
Para mostrar que
é limitada, lembramos que, para todo
,
Substituindo
, segue
logo
está contida em
e é limitada superior e inferiormente.
Passo 3
Para verificar monotonicidade, calculamos a diferença
Usando a identidade
, com
e
, obtemos
Como
e
muda de sinal conforme
varia, a diferença
também muda de sinal infinitamente vezes. Logo não há monotonicidade nem crescente nem decrescente.
Resposta
A sequência
é limitada (em
) e não é monótona.