Verifique se as seguintes sequências são limitadas e monónotas.
an=sen(n2)

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=sin!l(tfracn2r)
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar a propriedade da função seno para limites e a diferença entre termos para monotonicidade.

Passo 2

Para mostrar que an é limitada, lembramos que, para todo xinR,
-1 ;<=; sin(x);<=; 1
Substituindo x=tfracn2, segue
-1 ;<=; sin!l(tfracn2r);<=;1,
logo an está contida em [-1,1] e é limitada superior e inferiormente.

Passo 3

Para verificar monotonicidade, calculamos a diferença
an+1-an =sin!l(tfracn+12r)-sin!l(tfracn2r)
Usando a identidade sin A-sin B=2cos!l(tfracA+B2r)sin!l(tfracA-B2r), com
A=tfracn+12 e B=tfracn2, obtemos
an+1-an =2cos!l(tfracn2+tfrac14r),sin!l(tfrac14r)
Como sin!l(tfrac14r)>0 e cos!l(tfracn2+tfrac14r) muda de sinal conforme n varia, a diferença an+1-an também muda de sinal infinitamente vezes. Logo não há monotonicidade nem crescente nem decrescente.

Resposta

A sequência an é limitada (em [-1,1]) e não é monótona.

Exercícios relacionados