Calcule as integrais iteradas a seguir.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-9 x^{2} y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Limites internos (integração em y): y varia de 1 a 2.
  • Limites externos (integração em x): x varia de 0 a 1.
  • Função integranda: 4x^{3}-9x^{2}y^{2}.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Primeiro integramos em relação a y (integral interna), tratando x como constante durante essa integração. Usamos a linearidade da integral (a soma separa e constantes fatoram):
\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dy =4x^{3}\int_{1}^{2}dy-9x^{2}\int_{1}^{2}y^{2}\,dy.

Passo 3

Calculemos as duas integrais simples em y:
\int_{1}^{2}dy = \left[y\right]_{1}^{2}=2-1=1,
\int_{1}^{2}y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Substituindo:
\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dy = 4x^{3}\cdot 1 -9x^{2}\cdot\frac{7}{3}=4x^{3}-21x^{2}.
Observação rápida sobre a regra usada: a regra da potência para primitiva é \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1), aplicada em \int y^{2}\,dy.

Passo 4

Agora integramos a expressão resultante em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(4x^{3}-21x^{2}\right)\,dx =4\int_{0}^{1}x^{3}\,dx-21\int_{0}^{1}x^{2}\,dx.
Usando a regra da potência para primitiva em x:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto
4\int_{0}^{1}x^{3}\,dx-21\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =4\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}-21\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\left[x^{4}\right]_{0}^{1}-7\left[x^{3}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalie em x=1 e x=0:
\left[x^{4}\right]_{0}^{1}-7\left[x^{3}\right]_{0}^{1} = (1^{4}-0)-(7(1^{3}-0))=1-7=-6.
Por fim, o valor da integral iterada é -6. Força aí — deu trabalho, mas fechou direitinho!

Resposta

-6

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