Seja
o
-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Demonstre que para todo
tem-se
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de Fibonacci
e pede para provar uma identidade envolvendo a soma dos primeiros
termos. Especificamente:
- Dados: a sequência
com os termos iniciais usuais e , e a relação de recorrência
- Pedido: demonstrar que, para todo
, vale a igualdade entre a soma dos primeiros termos e um termo da sequência deslocado:
Passo 2
Escolha do método de resolução e ideia principal (explicação didática curta e por que este método).
- Dois métodos naturais aqui são: (a) prova por telescópico usando a recorrência, e (b) prova por indução matemática.
- Vou usar primeiro o método telescópico porque é curto e mostra de forma elegante como a recorrência “cancela” termos quando somamos uma expressão adequada; depois mostro a prova por indução como alternativa, para treinar a técnica que costuma cair em provas.
- Lembrete sobre telescópico: se conseguimos escrever cada
como diferença de dois termos consecutivos (algo do tipo ), ao somar essas diferenças muitas parcelas se cancelam, restando poucas extremidades — é aí que vem o nome “soma telescópica”.
Passo 3
Obter uma expressão para
que permita telescopar.
- A partir da recorrência
, isolamos . Subtraindo de ambos os lados:
- Esta igualdade vale para todo índice
. É justamente da forma “diferença de dois termos consecutivos” que queremos para aplicar o telescópico.
Passo 4
Somar a identidade obtida no passo anterior para
e usar o cancelamento (telescópico).
- Somando ambos os lados de
para até , obtemos
- Escrevendo os termos do lado direito para ver o cancelamento:
- Note que
aparece com sinal positivo e negativo, o mesmo para ; portanto todos esses termos intermediários se cancelam, sobrando apenas as extremidades:
Passo 5
Usar o valor do segundo termo
(parte da definição inicial) e observar o que isso implica.
- Pelas condições iniciais da sequência de Fibonacci temos
. - A igualdade obtida no passo anterior contém
como uma das extremidades. Mantendo separadas as etapas (para não repetir a resposta final nesta linha), fica evidente que substituir simplifica a expressão obtida no passo anterior.
Passo 6
Prova alternativa por indução (didática: como estruturar uma prova por indução).
- Objetivo da indução: mostrar que a propriedade
definida por
é verdadeira para todo
.
- Base da indução (
): a soma dos primeiros termo é . O lado direito para é . Como , tem-se . Logo é verdadeira. - Passo indutivo: suponha
verdadeira, isto é, suponha
Então a soma até
é
Usando a recorrência
, reescrevemos
Logo
é verdadeira sempre que
for verdadeira. Assim, por princípio da indução matemática,
vale para todo
.
- Comentário didático: a indução confirma formalmente o resultado que vimos via telescópico; ambas as abordagens são válidas e úteis em provas.
Passo 7
Fechamento e encorajamento.
- O telescópico deu a igualdade intermediária
e sabemos que ; a prova por indução confirma o mesmo resultado de maneira estruturada. Pronto — a identidade pedida está demonstrada para todo . Parabéns por acompanhar: você já pode usar essa soma em exercícios de prova com confiança!