Seja F_{n} o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci. Demonstre que para todo n \in \mathbb{N} tem-se
F_{1}+F_{2}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de Fibonacci F_n e pede para provar uma identidade envolvendo a soma dos primeiros n termos. Especificamente:
  • Dados: a sequência \{F_n\}_{n\ge1} com os termos iniciais usuais \,F_1=1 e \,F_2=1, e a relação de recorrência
F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\quad\text{para todo }n\ge1.
  • Pedido: demonstrar que, para todo n\in\mathbb{N}, vale a igualdade entre a soma dos primeiros n termos e um termo da sequência deslocado:
\text{provar que }F_{1}+F_{2}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1.

Passo 2

Escolha do método de resolução e ideia principal (explicação didática curta e por que este método).
  • Dois métodos naturais aqui são: (a) prova por telescópico usando a recorrência, e (b) prova por indução matemática.
  • Vou usar primeiro o método telescópico porque é curto e mostra de forma elegante como a recorrência “cancela” termos quando somamos uma expressão adequada; depois mostro a prova por indução como alternativa, para treinar a técnica que costuma cair em provas.
  • Lembrete sobre telescópico: se conseguimos escrever cada F_k como diferença de dois termos consecutivos (algo do tipo A_k-B_k), ao somar essas diferenças muitas parcelas se cancelam, restando poucas extremidades — é aí que vem o nome “soma telescópica”.

Passo 3

Obter uma expressão para F_k que permita telescopar.
  • A partir da recorrência \,F_{k+2}=F_{k+1}+F_k, isolamos F_k. Subtraindo F_{k+1} de ambos os lados:
F_k = F_{k+2}-F_{k+1}.
  • Esta igualdade vale para todo índice k\ge1. É justamente da forma “diferença de dois termos consecutivos” que queremos para aplicar o telescópico.

Passo 4

Somar a identidade obtida no passo anterior para k=1,2,\dots,n e usar o cancelamento (telescópico).
  • Somando ambos os lados de F_k = F_{k+2}-F_{k+1} para k=1 até k=n, obtemos
\sum_{k=1}^{n} F_k \;=\; \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2}-F_{k+1}\bigr).
  • Escrevendo os termos do lado direito para ver o cancelamento:
\bigl(F_3-F_2\bigr)+\bigl(F_4-F_3\bigr)+\bigl(F_5-F_4\bigr)+\cdots+\bigl(F_{n+2}-F_{n+1}\bigr).
  • Note que F_3 aparece com sinal positivo e negativo, o mesmo para F_4,\dots,F_{n+1}; portanto todos esses termos intermediários se cancelam, sobrando apenas as extremidades:
\sum_{k=1}^{n} F_k = F_{n+2}-F_2.

Passo 5

Usar o valor do segundo termo F_2 (parte da definição inicial) e observar o que isso implica.
  • Pelas condições iniciais da sequência de Fibonacci temos F_2=1.
  • A igualdade obtida no passo anterior contém F_2 como uma das extremidades. Mantendo separadas as etapas (para não repetir a resposta final nesta linha), fica evidente que substituir F_2=1 simplifica a expressão obtida no passo anterior.

Passo 6

Prova alternativa por indução (didática: como estruturar uma prova por indução).
  • Objetivo da indução: mostrar que a propriedade P(n) definida por
P(n):\quad \sum_{k=1}^{n} F_k = F_{n+2}-1
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.
  • Base da indução ( n=1): a soma dos primeiros 1 termo é F_1=1. O lado direito para n=1 é F_{3}-1. Como F_3=2, tem-se F_3-1=1. Logo P(1) é verdadeira.
  • Passo indutivo: suponha P(n) verdadeira, isto é, suponha
\sum_{k=1}^{n} F_k = F_{n+2}-1.
Então a soma até n+1 é
\sum_{k=1}^{n+1} F_k = \left(\sum_{k=1}^{n} F_k\right)+F_{n+1} = \bigl(F_{n+2}-1\bigr)+F_{n+1}.
Usando a recorrência \,F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}, reescrevemos
\bigl(F_{n+2}-1\bigr)+F_{n+1} = F_{n+3}-1.
Logo P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira. Assim, por princípio da indução matemática, P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Comentário didático: a indução confirma formalmente o resultado que vimos via telescópico; ambas as abordagens são válidas e úteis em provas.

Passo 7

Fechamento e encorajamento.
  • O telescópico deu a igualdade intermediária \sum_{k=1}^{n}F_k = F_{n+2}-F_2 e sabemos que F_2=1; a prova por indução confirma o mesmo resultado de maneira estruturada. Pronto — a identidade pedida está demonstrada para todo n\in\mathbb{N}. Parabéns por acompanhar: você já pode usar essa soma em exercícios de prova com confiança!

Resposta

F_{1}+F_{2}+\ldots+F_{n}=F_{n+2}-1

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