Determine o termo independente de
no desenvolvimento de
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar o termo independente de
" no desenvolvimento de
.
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - Queremos o termo cuja potência de
seja zero (ou seja, o termo constante, sem ).
Passo 2
Recordando a fórmula que vamos usar (Teorema do Binômio de Newton). Para inteiros não-negativos
e termos
e
,
onde
é o coeficiente binomial, definido por
Explicando as variáveis:
-
é o expoente total (aqui ). -
indexa os termos na soma; cada termo tem fator , e . - O objetivo é encontrar o valor de
tal que a potência de no termo seja .
Passo 3
Identificamos
e
na nossa expressão:
Usando o termo geral do binômio, o
-ésimo termo (começando em
) é
Passo 4
Vamos simplificar a potência de
no termo geral. Primeiro separamos a constante de
:
Agora simplificamos o expoente de
:
Portanto o expoente de
no termo
é
.
Passo 5
Queremos o termo independente de
, isto é, o termo com expoente de
igual a zero. Logo impomos
Resolvendo:
Passo 6
Agora calculamos o coeficiente correspondente a
. Substituindo em
(e lembrando que então
):
Calculamos
:
E
. Portanto
Passo 7
Verificação rápida: para
o expoente de
é
, então o termo é realmente constante e seu valor é
. Isso confirma o resultado.
Resposta
672