Determine o termo independente de x no desenvolvimento de \left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)^{9}.

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar o termo independente de x" no desenvolvimento de \left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)^{9}.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}\right)^{9}.
  • Queremos o termo cuja potência de x seja zero (ou seja, o termo constante, sem x).

Passo 2

Recordando a fórmula que vamos usar (Teorema do Binômio de Newton). Para inteiros não-negativos n e termos A e B,
(A+B)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^{\,n-k}B^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando as variáveis:
  • n é o expoente total (aqui n=9).
  • k indexa os termos na soma; cada termo tem fator \binom{n}{k}, A^{\,n-k} e B^{\,k}.
  • O objetivo é encontrar o valor de k tal que a potência de x no termo seja 0.

Passo 3

Identificamos A e B na nossa expressão:
A=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad B=\frac{2}{x}=2x^{-1},\qquad n=9.
Usando o termo geral do binômio, o k-ésimo termo (começando em k=0) é
T_k=\binom{9}{k}\bigl(x^{1/2}\bigr)^{\,9-k}\bigl(2x^{-1}\bigr)^{k}.

Passo 4

Vamos simplificar a potência de x no termo geral. Primeiro separamos a constante de x:
T_k=\binom{9}{k}2^{k}\;x^{\frac{9-k}{2}-k}.
Agora simplificamos o expoente de x:
\frac{9-k}{2}-k=\frac{9-k-2k}{2}=\frac{9-3k}{2}.
Portanto o expoente de x no termo T_k é \dfrac{9-3k}{2}.

Passo 5

Queremos o termo independente de x, isto é, o termo com expoente de x igual a zero. Logo impomos
\frac{9-3k}{2}=0.
Resolvendo:
9-3k=0\quad\Rightarrow\quad 3k=9\quad\Rightarrow\quad k=3.

Passo 6

Agora calculamos o coeficiente correspondente a k=3. Substituindo em T_k (e lembrando que então x^{0}=1):
T_3=\binom{9}{3}2^{3}\;x^{0}=\binom{9}{3}2^{3}.
Calculamos \binom{9}{3}:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.
E 2^{3}=8. Portanto
T_3=84\cdot8=672.

Passo 7

Verificação rápida: para k=3 o expoente de x é \dfrac{9-3\cdot3}{2}=\dfrac{9-9}{2}=0, então o termo é realmente constante e seu valor é 672. Isso confirma o resultado.

Resposta

672

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