Calcule as integrais de linha abaixo.
(a) ointC(sen x+4 x y) d x+(2 x^2-cos y) d y, C é qualquer curva regular fechada e simples.
(b) ointC(raizx^2+y^2) d x+y ln (x+raizx^2+y^2) d y, C é qualquer curva regular fechada e simples que nāo envolve a origem.
© oint 2 d x+(x^2-y tg y) d y, C é o círculo (x-1)^2+y^2=1.
(d) oint e^infty sen y d x+e^infty cos y d y ; C é o elipse 3 x^2+8 y^2=24.
(e) oint(raizx+y^3), d x+(x^2+raizy) d y, C consiste no arco de curva y=sen x de (0,0) à (pi, 0) e no segmento de reta que liga ( pi1 0 ) à ( 0,0 ).
(f) oint(e^Phi+x^2 y) d x+(e^y-x y^2) d y; C é a circunferência x^2+y^2=25, no sentido horário.
(g) oint(4 x^3 y^3) d x+(3 x^4 y^2+5 x) d y, C é a fronteira do quadrado de vértices (-1,0),(0,-1), (1,0) e (0,1).

Passo 1

Temos que calcular várias integrais de linha no formato ointC P,dx + Q,dy. Vamos usar teoria de campos conservativos, critério de exatidão e teorema de Green em planos simplesmente conectados ou parametrizações diretas dependendo do caso.

Passo 2

No item (a), definimos P = sin x + 4xy e Q = 2x^2 - cos y. Calculamos partial P/partial y = 4x e partial Q/partial x = 4x. Como são iguais em um domínio simplesmente conectado, o campo é conservativo e a integral fechada vale zero.

Passo 3

No item (b), temos P = raizx^2 + y^2 e Q = y ln(x + raizx^2+y^2). Verificamos partial P/partial y = y/raizx^2+y^2 e partial Q/partial x = y/raizx^2+y^2. Logo o campo é conservativo em qualquer região que não envolva a origem e a integral fechada é zero.

Passo 4

No item ©, usamos o teorema de Green para o campo não conservativo P = 2, Q = x^2 - ytan y, sobre o disco (x-1)^2+y^2 <= 1. Calculamos
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 0 = 2x
Passamos para coordenadas centradas em (1,0), isto é u=x-1, v=y, e obtemos
integral duplaD 2(u+1),dA = 2integral duplaD u,dA + 2integral duplaD 1,dA = 0 + 2(picdot1^2) = 2pi

Passo 5

No item (d), interpretamos o campo como P = e^xsin y e Q = e^xcos y. Verificamos partial P/partial y = e^xcos y e partial Q/partial x = e^xcos y, logo é conservativo. A integral em qualquer curva fechada é zero.

Passo 6

No item (e), o caminho C é fechado, mas o campo não é conservativo pois partial P/partial y = 3y^2 neq 2x = partial Q/partial x. Parametrizamos em dois trechos: C1: x=t, y=sin t, tin[0,pi], e C2: segmento de (pi,0) a (0,0). Após calcularmos explicitamente cada integral, encontramos cancelamentos que levam a tfrac43 -2pi.

Passo 7

No item (f), assumindo P = e^x + x^2y e Q = e^y - xy^2, o campo não é conservativo. Aplicamos Green em x^2+y^2<=25 com orientação horário, o que inverte o sinal. Calculamos
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y^2 - x^2,
e o sinal da orientação dá
integral dupla (x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral0^5 r^3,dr,dtheta = 625pi2

Passo 8

No item (g), para P=4x^3y^3 e Q=3x^4y^2+5x a diferença é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 5
A região é o losango de área 2, logo
integral dupla 5,dA = 10

Resposta

(a) 0; (b) 0; © 2pi; (d) 0; (e) tfrac43-2pi; (f) tfrac625pi2; (g) 10.

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