Calcule as integrais de linha abaixo.
(a)
é qualquer curva regular fechada e simples.
(b)
é qualquer curva regular fechada e simples que nāo envolve a origem.
©
é o círculo
.
(d)
é o elipse
.
(e)
consiste no arco de curva
de
à
e no segmento de reta que liga (
) à ( 0,0 ).
(f)
;
é a circunferência
, no sentido horário.
(g)
,
é a fronteira do quadrado de vértices
,
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Temos que calcular várias integrais de linha no formato
. Vamos usar teoria de campos conservativos, critério de exatidão e teorema de Green em planos simplesmente conectados ou parametrizações diretas dependendo do caso.
Passo 2
No item (a), definimos
e
. Calculamos
e
. Como são iguais em um domínio simplesmente conectado, o campo é conservativo e a integral fechada vale zero.
Passo 3
No item (b), temos
e
. Verificamos
e
. Logo o campo é conservativo em qualquer região que não envolva a origem e a integral fechada é zero.
Passo 4
No item ©, usamos o teorema de Green para o campo não conservativo
,
, sobre o disco
. Calculamos
Passamos para coordenadas centradas em
Passo 5
No item (d), interpretamos o campo como
e
. Verificamos
e
, logo é conservativo. A integral em qualquer curva fechada é zero.
Passo 6
No item (e), o caminho
é fechado, mas o campo não é conservativo pois
. Parametrizamos em dois trechos:
:
,
,
, e
: segmento de
a
. Após calcularmos explicitamente cada integral, encontramos cancelamentos que levam a
.
Passo 7
No item (f), assumindo
e
, o campo não é conservativo. Aplicamos Green em
com orientação horário, o que inverte o sinal. Calculamos
e o sinal da orientação dá
Passo 8
No item (g), para
e
a diferença é
A região é o losango de área 2, logo
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
; (f)
; (g)
.