Considere a equação diferencial y^prime=A y+h(t) onde:
A=[ccc 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 ] h(t)=[c 0 0 e^t ]
a) Determine a solução geral da equação homogénea associada à equação.
b) Determine a solução da equação que passa pelo ponto y(0)=(1,0,0)^T.

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o sistema linear não homogenéo y′=Ay+h(t) onde A e h(t) são dados. O conteúdo aqui envolve achar primeiro a solução geral da equação homogênea (y_h) e depois uma particular (y_p), combinando-as e impondo y(0)=(1,0,0)^T.

Passo 2

Para a parte homogênea, separamos as equações para y_2 e y_3: falândose em y_3′=y_2 e y_2′=2y_2−y_3, obtemos ˙˙y_3=2˙y_3−y_3, que leva ao caractéristico (r−1)^2=0. Assim
y3,h(t)=C1e^t+C2t e^t,
e então
y2,h(t)=y'3,h(t)=C1e^t+C2(e^t+t e^t)=(C1+C2)e^t+C2t e^t

Passo 3

Para y_1,h usamos a equação y_1′=y_1+y_2,h. O fator integrante e^{-t} leva a
e^-ty1' - e^-ty1 = e^-ty2,h(t) implies ddt(e^-ty1) = (C1+C2)+C2t

Passo 4

Integrando, obtemos
e^-ty1 = (C1+C2)t+C22t^2 +C3 implies y1,h(t)=e^tl((C1+C2)t+C22t^2 +C3r)

Passo 5

Logo a solução homogênea geral é
yh(t)=e^tl((C1+C2)t+tfracC22t^2+C3r)(C1+C2)e^t+C2te^tC1e^t+C2te^t

Passo 6

Para a particular usamos variação de constantes: escrevemos A=I+N, calculamos N2,N3=0 e obtemos
e^At=e^t(I+tN+tfract^22N^2)

Passo 7

Então
yp(t)=integral0^t e^A(t-s)h(s),ds =e^tintegral0^tl[v+(t-s)Nv+tfrac(t-s)^22N^2vr]ds,
onde v=[0,0,1]^T. Calculando Nv=[0,−1,−1]^T e N2v=[−1,0,0]T e integrando, chega-se a
yp(t)=e^t-tfract^36-tfract^22t-tfract^22

Passo 8

A solução geral do problema não homogêneo é y=y_h+y_p. Impondo y(0)=(1,0,0)^T, nota-se que y_p(0)=0, de onde C_1=C_2=0 e C_3=1.
Assim a solução que satisfaz y(0)=(1,0,0)^T é y(t)=y_h(t)+y_p(t) com C_1=C_2=0,C_3=1.

Resposta

y(t)=e^t-tfract^36e^t-tfract^22e^te^tl(t-tfract^22r)

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