Como você interpreta
e
geometricamente? Como as interpreta como taxas de variação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou como interpretar geometricamente as derivadas parciais $ f_{x}(a, b) $ e $ f_{y}(a, b) $, além de como entendê-las como taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais, representação gráfica de funções de duas variáveis e o conceito de taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que são derivadas parciais. Em funções de duas variáveis, como $ f(x, y) $, as derivadas parciais $ f_{x} $ e $ f_{y} $ representam a taxa de variação de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, mantendo a outra variável constante.
Passo 3
Agora, vamos para a interpretação geométrica. Imagine que $ f(x, y) $ representa uma superfície no espaço 3D. O ponto $ (a, b, f(a, b)) $ está nessa superfície. A derivada parcial $ f_{x}(a, b) $ nos dá a inclinação da reta tangente à curva que você obtém ao “cortar” a superfície mantendo $ y = b $ constante. Geometricamente, é a inclinação na direção do eixo $ x $.
Passo 4
De forma similar, $ f_{y}(a, b) $ representa a inclinação da reta tangente à curva obtida ao manter $ x = a $ constante. Isso nos mostra como a superfície está inclinada na direção do eixo $ y $ no ponto $ (a, b) $.
Passo 5
Quanto às taxas de variação, $ f_{x}(a, b) $ nos indica como a função $ f $ está mudando à medida que movemos na direção do eixo $ x $, mantendo $ y $ fixo. Ou seja, mostra quanto $ f $ aumenta ou diminui por unidade de aumento em $ x $.
Passo 6
Analogamente, $ f_{y}(a, b) $ mostra a taxa de variação de $ f $ na direção do eixo $ y $, mantendo $ x $ constante. Isso indica quanto $ f $ muda por unidade de aumento em $ y $.
Resposta
Em resumo, geometricamente, $ f_{x}(a, b) $ e $ f_{y}(a, b) $ são as inclinações das retas tangentes à superfície $ f(x, y) $ nas direções dos eixos $ x $ e $ y $, respectivamente. Como taxas de variação, elas indicam como a função $ f $ muda em cada direção quando uma das variáveis varia mantendo a outra constante.