Calcule as integrais de linha para as funções vetoriais e curvas a seguir.
I=\int_{C} \vec{f} \cdot d \vec{r}, em que
\vec{f}(x, y, z)=2 z \hat{\mathrm{i}}-y \hat{\mathrm{j}}+x \hat{k},
sobre a curva
\vec{r}(u)=2 u \hat{\mathrm{i}}+u^{2} \hat{\mathrm{j}}+\frac{1}{2 u} \hat{k},
u \in\left[1, e^{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I=\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}
onde a função vetorial e a curva parametrizada são dadas por:
\vec{f}(x,y,z)=2z\,\hat{\mathrm{i}}-y\,\hat{\mathrm{j}}+x\,\hat{k},
\vec{r}(u)=2u\,\hat{\mathrm{i}}+u^{2}\,\hat{\mathrm{j}}+\frac{1}{2u}\,\hat{k}, \qquad u\in\left[1,e^{2}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C já vem parametrizada por \vec{r}(u) com parâmetro u no intervalo \left[1,e^{2}\right].
  • A integral de linha que se pede é do tipo \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}, ou seja, produto escalar entre \vec{f} e o diferencial de posição ao longo de C.
  • Objetivo final: obter o valor numérico (ou expressão) de I.

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado já dá a parametrização \vec{r}(u), o método natural e mais direto é substituir \vec{r}(u) em \vec{f} e usar a fórmula da integral de linha parametrizada:
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u)\,du,
com a=1 e b=e^{2}. Vou usar esse método porque é o mais simples quando a curva já vem parametrizada — evita verificações desnecessárias (como testar se o campo é conservativo) e reduz tudo a uma integral de uma variável.

Passo 3

Explicação da fórmula que vamos usar (mini-aula): se \vec{r}(u) é uma parametrização de C, então um pequeno deslocamento ao longo da curva vale d\vec{r}=\vec{r}\,'(u)\,du. O produto escalar \vec{f}\cdot d\vec{r} vira \vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u)\,du. Integrando de u=a a u=b obtemos a integral de linha. Sempre que usar essa fórmula, calcule (1) \vec{r}\,'(u), (2) \vec{f}(\vec{r}(u)) e (3) o produto escalar entre eles, antes de integrar.

Passo 4

Calcular \vec{r}\,'(u). Derivando componente a componente:
\vec{r}(u)=\bigl(2u,\;u^{2},\;\tfrac{1}{2u}\bigr),
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\vec{r}\,'(u)=\bigl(2,\;2u,\;-\tfrac{1}{2u^{2}}\bigr).
Aqui cada componente foi derivada em relação a u: \frac{d}{du}(2u)=2, \frac{d}{du}(u^{2})=2u, \frac{d}{du}\bigl(\tfrac{1}{2u}\bigr)=-\tfrac{1}{2}u^{-2}=-\tfrac{1}{2u^{2}}.

Passo 5

Calcular \vec{f}(\vec{r}(u)): substituir x=2u, y=u^{2}, z=\tfrac{1}{2u} na expressão de \vec{f}.
\vec{f}(\vec{r}(u))=2z\,\hat{\mathrm{i}}-y\,\hat{\mathrm{j}}+x\,\hat{k} =2\left(\tfrac{1}{2u}\right)\hat{\mathrm{i}}-u^{2}\hat{\mathrm{j}}+(2u)\hat{k}.
Simplificando,
\vec{f}(\vec{r}(u))=\bigl(\tfrac{1}{u},\; -u^{2},\;2u\bigr).

Passo 6

Fazer o produto escalar \vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u). Multiplicamos componente a componente e somamos:
\vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u) =\left(\tfrac{1}{u}\right)\cdot 2 + \left(-u^{2}\right)\cdot\left(2u\right) + \left(2u\right)\cdot\left(-\tfrac{1}{2u^{2}}\right).
Calculemos termo a termo:
  • Primeiro termo: \left(\tfrac{1}{u}\right)\cdot 2 = \tfrac{2}{u}.
  • Segundo termo: -u^{2}\cdot 2u = -2u^{3}.
  • Terceiro termo: 2u\cdot\left(-\tfrac{1}{2u^{2}}\right) = -\tfrac{2u}{2u^{2}} = -\tfrac{1}{u}.
Somando os três:
\frac{2}{u}-2u^{3}-\frac{1}{u}=\frac{1}{u}-2u^{3}.
Portanto o integrando simplifica muito bem para \dfrac{1}{u}-2u^{3}.

Passo 7

Montar e calcular a integral definida: usando a fórmula do Passo 3,
I=\int_{1}^{e^{2}}\left(\frac{1}{u}-2u^{3}\right)du.
Vamos integrar termo a termo. Antiderivadas:
\int\frac{1}{u}\,du=\ln u, \qquad \int 2u^{3}\,du=2\cdot\frac{u^{4}}{4}=\frac{u^{4}}{2}.
Portanto uma primitiva do integrando é
F(u)=\ln u-\frac{u^{4}}{2}.
Agora avaliamos de 1 a e^{2}:
I=F(e^{2})-F(1)=\left(\ln(e^{2})-\frac{(e^{2})^{4}}{2}\right)-\left(\ln 1-\frac{1^{4}}{2}\right).
Calcule cada parte:
\ln(e^{2})=2,\qquad (e^{2})^{4}=e^{8},\qquad \ln 1=0,\qquad 1^{4}=1.
Substituindo:
I=\left(2-\frac{e^{8}}{2}\right)-\left(0-\frac{1}{2}\right) =2-\frac{e^{8}}{2}+\frac{1}{2}.
Somando os termos constantes:
2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2},
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I=\frac{5}{2}-\frac{e^{8}}{2}=\frac{5-e^{8}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5-e^{8}}{2}

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