Calcule as integrais de linha para as funções vetoriais e curvas a seguir.
, em que
,
sobre a curva
,
.
sobre a curva
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a função vetorial e a curva parametrizada são dadas por:
Informações relevantes fornecidas:
- A curva
já vem parametrizada por com parâmetro no intervalo . - A integral de linha que se pede é do tipo
, ou seja, produto escalar entre e o diferencial de posição ao longo de . - Objetivo final: obter o valor numérico (ou expressão) de
.
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado já dá a parametrização
, o método natural e mais direto é substituir
em
e usar a fórmula da integral de linha parametrizada:
com
e
. Vou usar esse método porque é o mais simples quando a curva já vem parametrizada — evita verificações desnecessárias (como testar se o campo é conservativo) e reduz tudo a uma integral de uma variável.
Passo 3
Explicação da fórmula que vamos usar (mini-aula): se
é uma parametrização de
, então um pequeno deslocamento ao longo da curva vale
. O produto escalar
vira
. Integrando de
a
obtemos a integral de linha. Sempre que usar essa fórmula, calcule (1)
, (2)
e (3) o produto escalar entre eles, antes de integrar.
Passo 4
Calcular
. Derivando componente a componente:
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Aqui cada componente foi derivada em relação a
:
,
,
.
Passo 5
Calcular
: substituir
,
,
na expressão de
.
Simplificando,
Passo 6
Fazer o produto escalar
. Multiplicamos componente a componente e somamos:
Calculemos termo a termo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando os três:
Portanto o integrando simplifica muito bem para
.
Passo 7
Montar e calcular a integral definida: usando a fórmula do Passo 3,
Vamos integrar termo a termo. Antiderivadas:
Portanto uma primitiva do integrando é
Agora avaliamos de
a
:
Calcule cada parte:
Substituindo:
Somando os termos constantes:
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