Calcule as integrais de linha para as funções vetoriais e curvas a seguir.
, em que
,
sobre a curva
,
sobre a curva
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
onde a função vetorial é
e a curva é dada pela parametrização
As informações relevantes fornecidas são:
(componentes em
),
(componentes em função de
) e o intervalo de parametrização
.
O que se pede é o valor numérico da integral de linha .
O que se pede é o valor numérico da integral de linha
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para uma curva parametrizada por e um campo vetorial
, a integral de linha da forma
é calculada substituindo a parametrização na função e usando
Para uma curva parametrizada por
logo
Aqui
é a derivada componente a componente de
em relação a
. A razão é simples:
descreve o ponto na curva para cada
, e
é o pequeno deslocamento ao longo da curva; o produto escalar com
dá a contribuição infinitesimal para a integral.
Passo 3
Calcular
componente a componente.
Temos . Derivando cada componente em relação a
:
Temos
Explicando: a derivada de
é
, de
é
, de
é
.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja calcular
.
Substituímos ,
,
nas componentes de
:
primeira componente: .
segunda componente: .
terceira componente: .
Portanto
Substituímos
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
Portanto
Passo 5
Formar o produto escalar
e simplificar o integrando.
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Agora desenvolvemos cada termo:
.
.
.
Somando os termos:
Somando os termos:
Dica prática: sempre agrupe por potências de
para integrar mais facilmente.
Passo 6
Montar a integral em
e integrar termo a termo.
A integral pedida é
A integral pedida é
Integramos cada monômio usando a fórmula
:
Logo uma primitiva é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
e subtrair para obter o valor da integral.
Calculamos e
:
Calculamos
Portanto