Calcule as integrais de linha para as funções vetoriais e curvas a seguir.
I=\int_{C} \vec{f} \cdot d \vec{r}, em que
\vec{f}(x, y, z)=x^{2} \hat{\mathrm{i}}+y \hat{\mathrm{j}}+(x z-y) \hat{k},
sobre a curva
\vec{r}(u)=u^{2} \hat{\mathrm{i}}+2 u \hat{\mathrm{j}}+4 u^{3} \hat{k}, u \in[0,1]

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha
I=\int_{C} \vec{f}\cdot d\vec{r}
onde a função vetorial é \vec{f}(x,y,z)=x^{2}\,\hat{\mathrm{i}}+y\,\hat{\mathrm{j}}+(xz-y)\,\hat{k} e a curva é dada pela parametrização
\vec{r}(u)=u^{2}\,\hat{\mathrm{i}}+2u\,\hat{\mathrm{j}}+4u^{3}\,\hat{k},\qquad u\in[0,1].
As informações relevantes fornecidas são:
\vec{f} (componentes em x,y,z),
\vec{r}(u) (componentes em função de u) e o intervalo de parametrização u\in[0,1].
O que se pede é o valor numérico da integral de linha \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para uma curva parametrizada por \vec{r}(u) e um campo vetorial \vec{f}(x,y,z), a integral de linha da forma \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r} é calculada substituindo a parametrização na função e usando
d\vec{r}=\vec{r}\,'(u)\,du,
logo
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{u=a}^{u=b}\vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u)\,du.
Aqui \vec{r}\,'(u) é a derivada componente a componente de \vec{r}(u) em relação a u. A razão é simples: \vec{r}(u) descreve o ponto na curva para cada u, e \vec{r}\,'(u)\,du é o pequeno deslocamento ao longo da curva; o produto escalar com \vec{f} dá a contribuição infinitesimal para a integral.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(u) componente a componente.
Temos \vec{r}(u)=\big(u^{2},\,2u,\,4u^{3}\big). Derivando cada componente em relação a u:
\vec{r}\,'(u)=\big(2u,\,2,\,12u^{2}\big).
Explicando: a derivada de u^{2} é 2u, de 2u é 2, de 4u^{3} é 12u^{2}.

Passo 4

Avaliar \vec{f} ao longo da curva, ou seja calcular \vec{f}(\vec{r}(u)).
Substituímos x=u^{2}, y=2u, z=4u^{3} nas componentes de \vec{f}:
primeira componente: x^{2}=(u^{2})^{2}=u^{4}.
segunda componente: y=2u.
terceira componente: xz-y=(u^{2})(4u^{3})-2u=4u^{5}-2u.
Portanto
\vec{f}(\vec{r}(u))=\big(u^{4},\,2u,\,4u^{5}-2u\big).

Passo 5

Formar o produto escalar \vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u) e simplificar o integrando.
Fazendo o produto escalar componente a componente:
\vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u) = u^{4}\cdot(2u) + (2u)\cdot 2 + (4u^{5}-2u)\cdot(12u^{2}).
Agora desenvolvemos cada termo:
u^{4}\cdot(2u)=2u^{5}.
(2u)\cdot 2 = 4u.
(4u^{5}-2u)\cdot(12u^{2}) = 48u^{7} - 24u^{3}.
Somando os termos:
\vec{f}(\vec{r}(u))\cdot\vec{r}\,'(u)=48u^{7}+2u^{5}-24u^{3}+4u.
Dica prática: sempre agrupe por potências de u para integrar mais facilmente.

Passo 6

Montar a integral em u e integrar termo a termo.
A integral pedida é
I=\int_{0}^{1}\big(48u^{7}+2u^{5}-24u^{3}+4u\big)\,du.
Integramos cada monômio usando a fórmula \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}:
\int 48u^{7}\,du = 48\cdot\frac{u^{8}}{8}=6u^{8},
\int 2u^{5}\,du = 2\cdot\frac{u^{6}}{6}=\frac{1}{3}u^{6},
\int -24u^{3}\,du = -24\cdot\frac{u^{4}}{4}=-6u^{4},
\int 4u\,du = 4\cdot\frac{u^{2}}{2}=2u^{2}.
Logo uma primitiva é
F(u)=6u^{8}+\frac{1}{3}u^{6}-6u^{4}+2u^{2}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 1 e subtrair para obter o valor da integral.
Calculamos F(1) e F(0):
F(1)=6\cdot1^{8}+\frac{1}{3}\cdot1^{6}-6\cdot1^{4}+2\cdot1^{2}=6+\frac{1}{3}-6+2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3},
F(0)=0.
Portanto
I=F(1)-F(0)=\frac{7}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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