Considere a função vetorial
, ao longo da linha poligonal
composta pelos pontos AMB, em que
e
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede o valor de
ao longo da linha poligonal
composta pelos pontos
,
e
, na ordem
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A curva
é a junção de dois segmentos retos: de
para
e de
para
. A integral de linha pedida é a soma das integrais sobre cada segmento.
Passo 2
Lembra rapidinho a regra: para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
, usamos
ou, de forma compacta,
Aqui
e
são as coordenadas da parametrização e
suas derivadas em relação a
. Vamos aplicar isso a cada segmento.
Passo 3
Parametrização do segmento
. Uma parametrização padrão de um segmento entre
e
é
pois em
dá
e em
dá
.
Aplicando a
:
Logo
e
Passo 4
Montando a integranda no primeiro segmento. O campo é
. Substituímos
:
Agora o produto escalar com
dá
Portanto a integral sobre
é
Passo 5
Calculemos
explicitamente. Integral termo a termo:
Somando:
Passo 6
Parametrização do segmento
. Usando a mesma ideia:
Então
e
Passo 7
Montando a integranda no segundo segmento. Substituindo
no campo
:
Produto escalar com
:
Assim a integral sobre
é
Passo 8
Calculemos
termo a termo:
Somando:
Passo 9
A integral sobre toda a curva
que vai de
a
e depois a
é a soma das integrais nos dois segmentos:
onde já calculamos
e
.