Considere a função vetorial
\vec{g}(x)=(x-1) \hat{\mathrm{i}}+x^{2} \hat{\mathrm{j}} .
I_{2}=\int_{C_{2}} \vec{g} \cdot d \vec{r}, ao longo da linha poligonal C_{2} composta pelos pontos AMB, em que A(1,0), M(0,1) e B(-1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{g}(x)=(x-1)\hat{\mathrm{i}}+x^{2}\hat{\mathrm{j}}
e pede o valor de
I_{2}=\int_{C_{2}}\vec{g}\cdot d\vec{r}
ao longo da linha poligonal C_{2} composta pelos pontos A(1,0), M(0,1) e B(-1,0), na ordem A\to M\to B.\n
Informações relevantes dadas:
A=(1,0),\qquad M=(0,1),\qquad B=(-1,0).
A curva C_{2} é a junção de dois segmentos retos: de A para M e de M para B. A integral de linha pedida é a soma das integrais sobre cada segmento.

Passo 2

Lembra rapidinho a regra: para calcular a integral de linha de um campo vetorial \vec{g}=(P(x,y),Q(x,y)) ao longo de uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), usamos
\int_C \vec{g}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt,
ou, de forma compacta,
\int_C \vec{g}\cdot d\vec{r}=\int_{t_0}^{t_1}\vec{g}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui x(t) e y(t) são as coordenadas da parametrização e x'(t),y'(t) suas derivadas em relação a t. Vamos aplicar isso a cada segmento.

Passo 3

Parametrização do segmento A\to M. Uma parametrização padrão de um segmento entre P_0=(x_0,y_0) e P_1=(x_1,y_1) é
\vec{r}(t)=P_0+t(P_1-P_0),\qquad 0\le t\le1,
pois em t=0 P_0 e em t=1 P_1.
Aplicando a A(1,0)\to M(0,1):
\vec{r}_1(t)=(1,0)+t\big((-1,1)\big)=(1-t,\;t),\qquad 0\le t\le1.
Logo
x(t)=1-t,\qquad y(t)=t,
e
\vec{r}_1'(t)=(-1,\;1).

Passo 4

Montando a integranda no primeiro segmento. O campo é \vec{g}(x)=(x-1,\;x^{2}). Substituímos x=x(t)=1-t:
P(x(t),y(t))=x(t)-1=(1-t)-1=-t,
Q(x(t),y(t))=x(t)^{2}=(1-t)^{2}=1-2t+t^{2}.
Agora o produto escalar com \vec{r}_1'(t)=(-1,1)
\vec{g}(\vec{r}_1(t))\cdot \vec{r}_1'(t)=(-t)\cdot(-1)+(1-2t+t^{2})\cdot(1)=t+1-2t+t^{2}=1-t+t^{2}.
Portanto a integral sobre A\to M é
I_{AM}=\int_{0}^{1}\big(1-t+t^{2}\big)\,dt.

Passo 5

Calculemos I_{AM} explicitamente. Integral termo a termo:
\int_{0}^{1}1\,dt=\big[t\big]_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}(-t)\,dt=-\big[\tfrac{t^{2}}{2}\big]_{0}^{1}=-\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\big[\tfrac{t^{3}}{3}\big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Somando:
I_{AM}=1-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{6-3+2}{6}=\tfrac{5}{6}.

Passo 6

Parametrização do segmento M\to B. Usando a mesma ideia:
\vec{r}_2(t)=M+t(B-M)=(0,1)+t\big((-1,-1)\big)=(-t,\;1-t),\qquad 0\le t\le1.
Então
x(t)=-t,\qquad y(t)=1-t,
e
\vec{r}_2'(t)=(-1,\;-1).

Passo 7

Montando a integranda no segundo segmento. Substituindo x=x(t)=-t no campo \vec{g}:
P(x(t),y(t))=x(t)-1=-t-1=-(t+1),
Q(x(t),y(t))=x(t)^{2}=(-t)^{2}=t^{2}.
Produto escalar com \vec{r}_2'(t)=(-1,-1):
\vec{g}(\vec{r}_2(t))\cdot \vec{r}_2'(t)=-(t+1)\cdot(-1)+t^{2}\cdot(-1)=(t+1)-t^{2}=1+t-t^{2}.
Assim a integral sobre M\to B é
I_{MB}=\int_{0}^{1}\big(1+t-t^{2}\big)\,dt.

Passo 8

Calculemos I_{MB} termo a termo:
\int_{0}^{1}1\,dt=1,
\int_{0}^{1}t\,dt=\big[\tfrac{t^{2}}{2}\big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1}(-t^{2})\,dt=-\big[\tfrac{t^{3}}{3}\big]_{0}^{1}=-\tfrac{1}{3}.
Somando:
I_{MB}=1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{6+3-2}{6}=\tfrac{7}{6}.

Passo 9

A integral sobre toda a curva C_{2} que vai de A a M e depois a B é a soma das integrais nos dois segmentos:
I_{2}=I_{AM}+I_{MB},
onde já calculamos I_{AM}=\tfrac{5}{6} e I_{MB}=\tfrac{7}{6}.

Resposta

\;2

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