Calcule as integrais de linha sobre as curvas dadas.
F(x, y)=3 x y i+(4 x^2-3 y) j, C : segmento de reta de (0,3) a (3,9) e parábola y=x^2 de (3,9) a (5,25)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais de linha do campo vetorial F(x,y)=3xy,i+(4x^2-3y),j sobre duas curvas: um segmento de reta de (0,3) a (3,9) e o arco da parábola y=x^2 de (3,9) a (5,25). O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais e vamos precisar parametrizar cada curva e usar integralC Fcdot d r=integrala^b F(r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Para o segmento de reta de (0,3) a (3,9), parametrize por r(t)=(3t,3+6t), tin[0,1]. Então
r'(t)=(3,6),
F(r(t))=(3cdot(3t)(3+6t),,4(3t)^2-3(3+6t))=(27t+54t^2,,36t^2-18t-9)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t)=(27t+54t^2)cdot3+(36t^2-18t-9)cdot6=378t^2-27t-54
Integrando de 0 a 1:
integral0^1(378t^2-27t-54),dt=126-13.5-54=58.5=tfrac1172

Passo 3

Para a parábola y=x^2 de (3,9) a (5,25), parametrize por r(t)=(t,t^2), tin[3,5]. Então
r'(t)=(1,2t),
F(r(t))=(3t^3,,4t^2-3t^2)=(3t^3,t^2)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t)=3t^3cdot1+t^2cdot2t=5t^3
Integrando de 3 a 5:
integral3^5 5t^3,dt=54(5^4-3^4)=680

Resposta

integralC1Fcdot dr=tfrac1172, integralC2Fcdot dr=680

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