Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de Matemática onde precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função $ f(x) = 2 \cos(x) + \sin(2x) $ no intervalo de $ [0, \frac{\pi}{2}] $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver a equação $ f’(x) = 0 $:
Vamos usar a identidade trigonométrica $ \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) $:
Isso é uma equação quadrática em $ \sin(x) $. Resolvendo:
As soluções são $ \sin(x) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(x) = -1 $. No intervalo $ [0, \frac{\pi}{2}] $, apenas $ \sin(x) = \frac{1}{2} $ faz sentido, o que acontece quando $ x = \frac{\pi}{6} $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em $ x = 0 $:
- Em $ x = \frac{\pi}{6} $:
- Em $ x = \frac{\pi}{2} $:
Resposta
O valor máximo absoluto de $ f(x) $ no intervalo $ [0, \frac{\pi}{2}] $ é $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $ e o valor mínimo absoluto é $ 0 $.