Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=2 cos (x)+sen(2 x), [0, pi / 2]

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de Matemática onde precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função $ f(x) = 2 \cos(x) + \sin(2x) $ no intervalo de $ [0, \frac{\pi}{2}] $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver a equação $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Vamos usar a identidade trigonométrica $ \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) $:
-2 sin(x) + 2 cos(2x) = 0 Rightarrow -sin(x) + cos(2x) = 0
Isso é uma equação quadrática em $ \sin(x) $. Resolvendo:
cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)
As soluções são $ \sin(x) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(x) = -1 $. No intervalo $ [0, \frac{\pi}{2}] $, apenas $ \sin(x) = \frac{1}{2} $ faz sentido, o que acontece quando $ x = \frac{\pi}{6} $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  1. Em $ x = 0 $:
f(x)
  1. Em $ x = \frac{\pi}{6} $:
x = 0
  1. Em $ x = \frac{\pi}{2} $:
f(0) = 2 cos(0) + sin(0) = 2 times 1 + 0 = 2

Resposta

O valor máximo absoluto de $ f(x) $ no intervalo $ [0, \frac{\pi}{2}] $ é $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $ e o valor mínimo absoluto é $ 0 $.

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