Calcule as integrais de linha sobre as curvas dadas.
: segmento de reta de
a
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial $ F(x, y, z) = (x y - z) \mathbf{i} + e^{x} \mathbf{j} + y z \mathbf{k} $ ao longo do segmento de reta $ C $ que vai do ponto $ (1, 0, 0) $ até $ (3, 4, 8) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integral de linha de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva $ C $. Como $ C $ é um segmento de reta entre os pontos $ P_0 = (1, 0, 0) $ e $ P_1 = (3, 4, 8) $, podemos usar a seguinte parametrização linear:
Vamos calcular $ P_1 - P_0 $:
Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dá o vetor tangente à curva:
Este vetor $ \mathbf{r}’(t) $ será usado para calcular o diferencial de arco na integral de linha.
Passo 4
Em seguida, substituímos as componentes de $ \mathbf{r}(t) $ na função $ F(x, y, z) $:
Vamos simplificar cada componente:
- Componente $ \mathbf{i} $:
- Componente $ \mathbf{j} $:
- Componente $ \mathbf{k} $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar de $ F(\mathbf{r}(t)) $ com $ \mathbf{r}’(t) $:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 6
Por fim, a integral de linha é dada por:
Vamos calcular cada integral separadamente:
Somando todos os resultados:
Resposta
A integral de linha é igual a $ \frac{260}{3} + 2e^{3} - 2e $.