Calcule as integrais de linha sobre as curvas dadas.
F(x, y, z)=(x y-z) i+e^x j+y z k, C : segmento de reta de (1,0,0) a (3,4,8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral de linha para o campo vetorial $ F(x, y, z) = (x y - z) \mathbf{i} + e^{x} \mathbf{j} + y z \mathbf{k} $ ao longo do segmento de reta $ C $ que vai do ponto $ (1, 0, 0) $ até $ (3, 4, 8) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integral de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva $ C $. Como $ C $ é um segmento de reta entre os pontos $ P_0 = (1, 0, 0) $ e $ P_1 = (3, 4, 8) $, podemos usar a seguinte parametrização linear:
C
Vamos calcular $ P_1 - P_0 $:
C
Então, a parametrização fica:
P0 = (1, 0, 0)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dá o vetor tangente à curva:
r(t)
Este vetor $ \mathbf{r}’(t) $ será usado para calcular o diferencial de arco na integral de linha.

Passo 4

Em seguida, substituímos as componentes de $ \mathbf{r}(t) $ na função $ F(x, y, z) $:
r(t)
Vamos simplificar cada componente:
  • Componente $ \mathbf{i} $:
F(x, y, z)
  • Componente $ \mathbf{j} $:
F(r(t)) = F(1 + 2t, 4t, 8t) = ( (1 + 2t)(4t) - 8t ) i + e^1 + 2t j + (4t)(8t) k
  • Componente $ \mathbf{k} $:
i
Então,
(1 + 2t)(4t) - 8t = 4t + 8t^2 - 8t = 8t^2 - 4t

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar de $ F(\mathbf{r}(t)) $ com $ \mathbf{r}’(t) $:
F(r(t))
Simplificando cada termo:
r'(t)
F(r(t)) cdot r'(t) = (8t^2 - 4t)(2) + e^1 + 2t(4) + 32t^2(8)
(8t^2 - 4t)(2) = 16t^2 - 8t
Então,
e^1 + 2t(4) = 4e^1 + 2t

Passo 6

Por fim, a integral de linha é dada por:
integralC F cdot dr = integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt = integral0^1 (272t^2 - 8t + 4e^1 + 2t) , dt
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. integral0^1 272t^2 , dt = 272 [ t^33 ]0^1 = 272 times 13 = 2723
  2. integral0^1 -8t , dt = -8 [ t^22 ]0^1 = -8 times 12 = -4
  3. integral0^1 4e^1 + 2t , dt = 4 times 12 e^1 + 2t g|0^1 = 2 ( e^3 - e^1 )
Somando todos os resultados:
2723 - 4 + 2(e^3 - e) = 2723 - 123 + 2e^3 - 2e = 2603 + 2e^3 - 2e

Resposta

A integral de linha é igual a $ \frac{260}{3} + 2e^{3} - 2e $.

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