Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(08) integral(cot e^x) e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para ser substituída por uma nova variável. Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções exponenciais e a função cotangente, além de como realizar substituições em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observe que temos u = e^x dentro da função cotangente. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Substituindo integral cot(e^x) cdot e^x , dx = integral cot(u) , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral mais simples integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos ln|sin(u)| + C = ln|sin(e^x)| + C de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a .

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