Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(18) integral cos 2 x d x(2+3 sin 2 x)^3

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com o cálculo de integrais usando o método da substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que o denominador da nossa fração fica mais simples, só em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 6 cos 2x em relação a cos 2x , dx = du6 para substituir o na integral. Calculando, temos:
Isso implica que:

Passo 4

Substituímos integral cos 2x , dx(2 + 3 sin 2x)^3 = integral du6u^3 = 16 integral u^-3 , du e na integral original:
Aqui, simplificamos a integral utilizando a nova variável .

Passo 5

Agora, integramos 16 integral u^-3 , du = 16 ( u^-2-2 ) + C = -112 u^-2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos -112 u^-2 + C = -112 (2 + 3 sin 2x)^2 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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